Очереди

Значениями типа "очередь элементов типа T", как и для стеков, являются последовательности значений типа T. Разница состоит в том, что берутся элементы не с конца, а с начала (а добавляются по-прежнему в конец).

Операции с очередями:

• Сделать_пустой (var x: очередь элементов типа T);
• Добавить (t: T, var x: очередь элементов типа T);
• Взять (var t: T, var x: очередь элементов типа T);
• Пуста (x: очередь элементов типа T): boolean;
• Очередной (x: очередь элементов типа T): T.

При выполнении команды "Добавить" указанный элемент добавляется в конец очереди. Команда "Взять" выполнима, лишь если
очередь не является пустой, и забирает из нее первый (положенный туда раньше всех) элемент, помещая его в t. Значением функции "Очередной" (определенной для непустой очереди) является первый элемент очереди.

Английские названия стеков - Last In First Out (последним вошел - первым вышел, LIFO), а очередей - First In First Out (первым вошел - первым вышел, FIFO).

Реализация очередей в массиве.

2.1. Реализовать операции с очередью ограниченной длины так, чтобы количество действий для каждой операции было ограничено константой, не зависящей от длины очереди.

Решение
Будем хранить элементы очереди в соседних элементах массива. Тогда очередь будет прирастать справа и убывать слева. Поскольку при этом она может дойти до края, свернем массив в окружность.



Операции выполняются так:

• Сделать пустой:
  Длина := 0;
  Первый := 0;
• Добавить элемент:
  {Длина < n}
  Содержание [(Первый + Длина) mod n] := элемент;
  Длина := Длина + 1;
• Взять элемент;
  {Длина > 0}
  элемент := Содержание [Первый];
  Первый := (Первый + 1) mod n;
  Длина := Длина - 1;
• Пуста = (Длина = 0);
• Очередной = Содержание [Первый];

2.2. (Сообщил А.Г.Кушниренко) Придумать способ моделирования очереди с помощью двух стеков (и фиксированного числа переменных типа T). При этом отработка n операций с очередью (начатых, когда очередь была пуста) должна требовать порядка n действий.

Решение
Инвариант: стеки, составленные концами, образуют очередь. Перечисляя элементы одного стека вглубь и затем элементы второго наружу, мы перечисляем все элементы очереди от первого до последнего.

Ясно, что добавление сводится к добавлению к одному из стеков, а проверка пустоты - к проверке пустоты обоих стеков.
Если мы хотим взять элемент, есть два случая.

1. Если стек, где находится начало очереди, не пуст, то берем из него элемент.
2. Если он пуст, то предварительно переписываем в него все элементы второго стека, меняя порядок (это происходит само собой
   при перекладывании из стека в стек) и сводим дело к первому случаю. Хотя число действий на этом шаге и не ограничено константой, но требование задачи выполнено, так как каждый элемент очереди может участвовать в этом процессе не более одного раза.

2.3. Деком называют структуру, сочетающую очередь и стек:
класть и забирать элементы можно с обоих концов. Как реализовать дек ограниченного размера на базе массива так, чтобы каждая операция требовала ограниченного числа действий?

2.4. (Сообщил А.Г.Кушниренко.) Имеется дек элементов типа T и конечное число переменных типа T и целого типа. В начальном состоянии в деке некоторое число элементов. Составить программу, после исполнения которой в деке остались бы те же самые элементы, а их число было бы в одной из целых переменных.

Указание

• Элементы дека можно циклически переставлять, забирая с одного конца и помещая в другой. После этого, сделав столько же шагов в обратном направлении, можно вернуть все на место.
• Как понять, прошли мы полный круг или не прошли?
  Если бы какой-то элемент заведомо отсутствовал в деке, то можно было бы его подсунуть и ждать вторичного появления. Но таких элементов нет. Вместо этого можно для данного n выполнить циклический сдвиг на n дважды, подсунув разные элементы, и посмотреть, появятся ли разные элементы через n шагов.

Применение очередей.
2.5. Напечатать в порядке возрастания первые n натуральных чисел, в разложение которых на простые множители входят только числа 2, 3, 5.

Решение
Введем три очереди x2, x3, x5, в которых будем хранить элементы, которые в 2 (3, 5) раз больше напечатанных, но еще не напечатаны. Определим процедуру


Вот схема программы:



Пусть инвариант выполняется. Рассмотрим наименьший из ненапечатанных элементов множества; пусть это x. Тогда он делится нацело на одно из чисел 2, 3, 5, и частное также принадлежит множеству.

Значит, оно напечатано. Значит, x находится в одной из очередей, и, следовательно, является в ней первым (меньшие напечатаны, а элементы очередей не напечатаны). Напечатав x, мы должны его изъять и добавить его кратные.

Длины очередей не превосходят числа напечатанных элементов.


Следующая задача связана с графами (к которым мы вернёмся в главе 9).

Пусть задано конечное множество, элементы которого называют вершинами, а также некоторое множество упорядоченных пар вершин, называемых ребрами. В этом случае говорят, что задан ориентированный граф. Пару <p, q> называют ребром с началом p и концом q; говорят также, что оно выходит из вершины p и входит в вершину q. Обычно вершины графа изображают точками, а ребра - стрелками, ведущими из начала в конец. (В соответствии с определением из данной вершины в данную ведет не более одного ребра; возможны ребра, у которых начало совпадает с концом.)

2.6. Известно, что ориентированный граф связан, т. е. из любой вершины можно пройти в любую по ребрам. Кроме того, из каждой вершины выходит столько же ребер, сколько входит. Доказать, что существует замкнутый цикл, проходящий по каждому ребру ровно один раз. Составить алгоритм отыскания такого цикла.

Решение
Змеей будем называть непустую очередь из вершин, в которой любые две вершины соединены ребром графа (началом является та вершина, которая ближе к началу очереди). Стоящая в начале очереди вершина будет хвостом змеи, последняя - головой. На рисунке змея изобразится в виде цепи ребер графа, стрелки ведут от хвоста к голове. Добавление вершины в очередь соответствует росту змеи с головы, взятие вершины - отрезанию кончика хвоста.

Вначале змея состоит из единственной вершины. Далее мы следуем такому правилу:


Докажем, что мы достигнем цели.

1. Идя по змее от хвоста к голове, мы входим в каждую вершину столько же раз, сколько выходим. Так как в любую вершину входит столько же ребер, сколько выходит, то невозможность выйти означает, что голова змеи в той же точке, что и хвост.
2. Змея не укорачивается, поэтому либо она охватит все рёбра, либо, начиная с некоторого момента, будет иметь постоянную длину. Во втором случае змея будет бесконечно "скользить по себе". Это возможно, только если из всех вершин змеи не выходит неиспользованных ребер. В этом случае из связности следует, что змея проходит по всем рёбрам.

Замечание по реализации на Паскале
Вершинами графа будем считать числа 1..n. Для каждой вершины i будем хранить число Out[ i ] выходящих из нее ребер, а также номера Num[ i ][1],...,Num[ i ][Out[ i ]] тех вершин, куда эти ребра ведут. В процессе построения змеи будем выбирать первое свободное ребро. Тогда достаточно хранить для каждой вершины число выходящих из нее использованных ребер - это будут ребра, идущие в начале списка.

2.7. Доказать, что для всякого n существует последовательность нулей и единиц длины (2ⁿ) со следующим
свойством: если "свернуть ее в кольцо" и рассмотреть все фрагменты длины n (их число равно (2ⁿ)), то мы получим все возможные последовательности нулей и единиц длины n. Построить алгоритм отыскания такой последовательности, требующий не более (Cⁿ) действий для некоторой константы C.

Указание
Рассмотрим граф, вершинами которого являются последовательности нулей и единиц длины (n-1). Будем считать, что из вершины x ведет ребро в вершину y, если x может быть началом, а y - концом некоторой последовательности длины n. Тогда из каждой вершины входит и выходит два ребра. Цикл, проходящий по всем ребрам, и даст требуемую последовательность.

2.8. Реализовать k очередей с ограниченной суммарной длиной n, используя память порядка n+k, причем каждая операция (кроме начальной, делающей все очереди пустыми) должна требовать ограниченного константой числа действий.

Решение.
Действуем аналогично ссылочной реализации стеков: мы помним (для каждой очереди) первого, каждый участник очереди помнит следующего за ним (для последнего считается, что за ним стоит фиктивный элемент с номером 0). Кроме того, мы должны для каждой очереди знать последнего (если он есть) - иначе не удастся добавлять. Как и для стеков, отдельно есть цепь свободных ячеек. Заметим, что для пустой очереди информация о последнем элементе теряет смысл - но она и не используется при добавлении.



2.9. Та же задача для деков вместо очередей.

Указание
Дек - структура симметричная, поэтому надо хранить ссылки в обе стороны (вперед и назад). При этом удобно к каждому деку добавить фиктивный элемент, замкнув его в кольцо, и точно такое же кольцо образовать из свободных позиций.

В следующей задаче дек используется для хранения вершин выпуклого многоугольника.

2.10. На плоскости задано n точек, пронумерованных слева направо (а при равных абсциссах - снизу вверх). Составить программу, которая строит многоугольник, являющийся их выпуклой оболочкой, за не более чем C*n действий.

Решение.
Будем присоединять точки к выпуклой оболочке одна за другой. Легко показать, что последняя присоединенная точка будет одной из вершин выпуклой оболочки. Эту вершину мы будем называть выделенной. Очередная присоединяемая точка видна из выделенной (почему?). Дополним наш многоугольник, выпустив из выделенной вершины "иглу", ведущую в присоединяемую точку. Получится вырожденный многоугольник, и остается ликвидировать в нем "впуклости".

Будем хранить вершины многоугольника в деке в порядке обхода его периметра по часовой стрелке. При этом выделенная вершина является началом и концом (головой и хвостом) дека. Присоединение "иглы" теперь состоит в добавлении присоединяемой вершины в голову и в хвост дека. Устранение "впуклостей" несколько более сложно. Назовем подхвостом и подподхвостом элементы дека, стоящие за его хвостом. Устранение впуклости у хвоста делается так:

Таким же способом устраняется "впуклость" у головы дека.

Замечание
Действия с подхвостом и подподхвостом не входят в определение дека, однако сводятся к небольшому числу манипуляций
с деком (надо забрать три элемента с хвоста, сделать что надо и вернуть).

Ещё одно замечание
Есть два вырожденных случая: если мы вообще не поворачиваем у подхвоста (т.е. три соседние вершины лежат на одной прямой) и если мы поворачиваем на 180 градусов (так бывает, если наш многоугольник есть двуугольник). В первом случае подхвост стоит удалить (чтобы в выпуклой оболочке не было лишних вершин), а во втором случае - обязательно оставить.