Форум на Исходниках.RU

Уравнения 3-й степени

$erious — Sun, 17 Jun 2007 08:00:02 +0000

$erious:

Цитата Koenig @ 15.06.07, 18:57

$erious, откуда задание (книга)?

Это задание было на ЕГЭ в C5.

Уравнения 3-й степени

experimenter — Sat, 16 Jun 2007 15:25:26 +0000

experimenter:

Цитата esperanto @ 16.06.07, 03:52

Конечно засчитают

По-моему, это препода зависит. Если он бюрократ и идиот, то может и не засчитать. Дуракам закон не писан же. Поди ему докажи, что он должен тебе засчитать решение.

Уравнения 3-й степени

esperanto — Sat, 16 Jun 2007 03:52:49 +0000

esperanto:

Цитата PropellerMan @ 22.04.03, 18:41

Даже если ты это знаешь и напишеш их, в большинстве случаев тебе не засчитают решение задачи.

Конечно засчитают

Уравнения 3-й степени

Koenig — Fri, 15 Jun 2007 18:57:34 +0000

Koenig: $erious, откуда задание (книга)?

Уравнения 3-й степени

russo_turisto — Fri, 15 Jun 2007 18:47:30 +0000

russo_turisto: Здесь не надо по формуле Кордано ... надо как-то исходя из выражения ниже, найти эти корни наверное. Наверное, надо записать условия существования функций, например, при каких x существует корень в нижнем выражении и т.д. потом как-то определять сами корни ...

Уравнения 3-й степени

Swindler — Fri, 15 Jun 2007 18:24:00 +0000

Swindler: Обидно, но подбором корня уравнение не решаеться. Придёться

Цитата Koenig @ 15.06.07, 18:11

применить формулу Кардано

Уравнения 3-й степени

Koenig — Fri, 15 Jun 2007 18:11:02 +0000

Koenig: а какие проблемы в решении?
можно применить формулу Кардано

Swindler , пример ниже.

Уравнения 3-й степени

Swindler — Fri, 15 Jun 2007 17:20:24 +0000

Swindler:

Цитата $erious @ 15.06.07, 17:10

А почему не рапиде не открывается?

А я откуда знаю?

Цитата $erious @ 15.06.07, 17:10

Как выложить фото примера на форум?

нажимаешь "ответить", крепиш картинку.
З.Ы. А что руками набрать тяжело уравнение третей степени?

Уравнения 3-й степени

$erious — Fri, 15 Jun 2007 17:10:38 +0000

$erious: А почему не рапиде не открывается? Как выложить фото примера на форум?

Уравнения 3-й степени

Swindler — Fri, 15 Jun 2007 16:11:48 +0000

Swindler: $erious, напиши тут - рапидшаре не открываеться.

Добавлено 15.06.07, 16:12
Только уравнение.

Уравнения 3-й степени

$erious — Fri, 15 Jun 2007 16:01:32 +0000

$erious: Здравствуйте, уважаемые форумчане. Не могли бы вы мне решить пример и написать его решение, если не трудно. Буду очень благодарен. Заранее спасибо.

Вот пример

Пример

Уравнения 3-й степени

GrAnd — Thu, 24 Apr 2003 04:22:55 +0000

GrAnd: Для поиска корней существует еще метод Лобачевского-Греффе позволяющий искать корни алгебраических уравнений высокого порядка.

Уравнения 3-й степени

DEiL — Wed, 23 Apr 2003 19:27:08 +0000

DEiL: уф.. у нас в универе даже на к\р можно пользоваться справочниками всякими.. всё-равно если ты не умеешь, то и справочники не помогут...

Уравнения 3-й степени

CHIH.net — Wed, 23 Apr 2003 13:06:35 +0000

CHIH.net: У нас в институте знание такой формулы необходимо, и перед олимпиадой нас предупредили, что обязательно встретится задание такого рода.

Уравнения 3-й степени

PropellerMan — Tue, 22 Apr 2003 18:41:26 +0000

PropellerMan: Хе, ни на какой олимпиаде и ни на каких вступительных экзаменах не требуют знание формулы вычислений корней уравнений 3 и 4-й степени. Даже если ты это знаешь и напишеш их, в большинстве случаев тебе не засчитают решение задачи.

Уравнения 3-й степени

CHIH.net — Tue, 22 Apr 2003 17:50:42 +0000

CHIH.net: Ну спасибо ребят, помогли. Особенно спасибо DEiL'у за Горнера и Кордана ;)
Только жаль, что после а не до олимпиады прочёл ответы :) На олимпиаде надо было решить уравнение шестой степени, полученное из тригонометрического уравнения.
Я a^2 заменил на b и решил уравнение третьей степени, разложив его на множители.
Только при делении углом получил остаток, и плюнул на него (сократил). Так что наверное неправильно сделал номер. Зато как красиво, два листа вычислений :D

Уравнения 3-й степени

tserega — Sun, 20 Apr 2003 09:35:04 +0000

tserega: Я как-то писал прогу, которая решает уравнения N-ой степени.
Идея такая:
считаем N-ую производную функции ((c*x^n)' = c*n*x^(n-1))
В конце концов получаем линейное уравнение, которое решить тривиально.
Получаем границу, справо от коророй есть кодин корень уравнения f '(n-1) (x) = 0 ((n-1)-я производная равно 0) и справа тоже.
Находим их (хоть методом деления отрезка пополам). Теперь у нас 2 границы (2 найденных корня) - x1 и x2. Соответсвенно, ищем на трех отрезках корни (от -бесконечности до x1, от x1 до x2 и от x2 до +бесконечности).
Так разворачиваем это дело n раз (т.е. доходим до исходного уравнения). Кстати, это можно делать рекурсивно, тогда проблем меньше будет ;D

У меня такой метод работал до 15-й степени. Потом вылетал с Arifmetic Owerflow (слишком большие были коэффициенты при x)

Пару слов насчет сложности алгоритма:
вычисление производной функции - O(n)
вычисление n-й производной - O(n^2)
поиск корней производной - nlogn
итого - O(n^3*logn), что для n <= 100 вполне сносное время (меньше секунды при хорошей реализации)

PS: корни находит любые (естественно, действительные) с заданной точностью для метода деления отрезка потолам (или там чего круче)

Уравнения 3-й степени

DEiL — Sat, 19 Apr 2003 17:43:47 +0000

DEiL: кстати
если есть уравнение степени выше 4-й (корни 1-й, 2, 3, 4 можно найти по формулам), то:
1. делим на старший коэффициент, чтобы оно стало привидённым
2. выписываем где-нибудь все делители младшего коэффициента (и отрицательные тоже)
3. пользуем схему Горнера либо подставляем "корни" ручками и, если какой-либо из них подходит - делим столбиком на (x-корень)
4. пишем ответ :-)

схема Горнера:
в ряд выписываем все коэффициенты при степенях, начиная с наивысшей.
если в многочлене какой-либо степени нету, то пишем 0
строкой ниже, и чуть левее, выписываем претендента на корень
далее:
под первым коэффициентом из верхней строки пишем этот же коэффициент (должна быть единица, т.к. уравнение привидённое)
далее домножаем корень на этот коэффициент и прибавляем к полученному результату следующий коэф-ент. записываем. полученное число записываем. домножаем на корень и прибавляем следующий коэф-ент. в итоге, если получился 0, то претендент и правда является корнем!
а полученная строка из чисел - коэффициенты (начиная со старшего) уравнения степенью ниже, который получается делением на (x-корень)
пример:
x^3-1=0
делители - +\- 1
коэфф-ты - 1 0 0 -1
схема Горнера:
1)
х=1
1 0 0 -1
+1| 1 1*1+0=1 1*1+0=1 1*1-1=0
=> х=1 - корень
получили уравнение:
x^2+x+1 = 0
2)
х=-1
1 0 0 -1
-1| 1 1*(-1)+0=-1 -1*-1+0=1 1*(-1)-1=-2
=>x=-1 не корень

Уравнения 3-й степени

DEiL — Sat, 19 Apr 2003 10:40:41 +0000

DEiL: 2CHIH.net -> как выяснилось, то, что я тебе расписал, и была формула Кордана + её вывод :D

Уравнения 3-й степени

_IX0DeS — Sat, 19 Apr 2003 06:51:34 +0000

_IX0DeS: http://vadim-soft.narod.ru/math/theory/kardano_formul.htm
http://algolist.manual.ru/maths/findroot/cubic.php
http://ega-math.narod.ru/Quant/Belaga.htm

Уравнения 3-й степени

CHIH.net — Sat, 19 Apr 2003 06:46:15 +0000

CHIH.net: Что за формула Кордана такая ?
To 8)DEiL: Спасибо за способ :D Если комп считает, то всё просто. Но мне надо самому, а уравнений штук десять, среди них могут быть уравнения 5-й, 7-й степени, и времени час :) Есть способ деления углом, но он по-моему не все корни может найти.
Так может кто нить рассказать про схемы Горнера ?

Уравнения 3-й степени

DEiL — Sat, 19 Apr 2003 05:31:47 +0000

DEiL: да ладно, у каждого свои причуды ::)

Уравнения 3-й степени

SUnteXx — Fri, 18 Apr 2003 23:37:07 +0000

SUnteXx:

Цитата kl, 19.04.03, 02:37:19

Господи, помилуй от такого...

От тех формул, что выше :o

Уравнения 3-й степени

kl — Fri, 18 Apr 2003 22:37:19 +0000

kl: Господи, помилуй от такого...

Уравнения 3-й степени

SUnteXx — Fri, 18 Apr 2003 22:32:26 +0000

SUnteXx: 2DEiL:
:o :o :o У меня шок :o :o :o

Уравнения 3-й степени

DEiL — Fri, 18 Apr 2003 21:13:10 +0000

DEiL: пусть имеется уравнение -
x^3+a1*x^2+a2*x+a3=0
пусть y=x+a1/3
тогда уравнение примет вид:
y^3+p*y+q=0
пусть y=u+v
тогда:
u^3+v^3+3*u*v*(u+v)+p*(u+v)+q=0
u^3+v^3+(u+v)*(3*u*v-p)+q=0
пусть u*v=-p/3
тогда имеем:
|u^3+v^3=-q
|u*v=-p/3
далее -
|u^3+v^3=-q
|u^3*v^3=-(p^3)/27
рассмотрим уравнение z^2+q*z-(p^3)/27=0
тогда: u^3=-q/2+sqrt((q^2)/4+(p^3)/27)), извлекаем кубический корень и получаем u, но v=-p/(3*u)
вспомним старые обозначения : y=u+v; подставим и получим ровно 3 значения для y..
замечание\запарка - все операции извлечения корня должны проводиться в поле комплексных чисел, т.е. допустим имеется уравнение - a^3=b
a=r*(cosA+i*sinA), b=R*(cosB+i*sinB)
r^3*(cosA+i*sinA)^3=R*(cosB+i*sinB)
по формуле Муавра:
r^3*cos(3A)+i*sin(3A)=R*(cosB+i*sinB)
=>
1) r^3=R
2) 3A=B+2*pi*k, где k=0,1,2
в итоге получаем:
a=корень_третьей_степени_из_R*(cos((B+2*pi*k)/3))+i*sin((B+2*pi*k)/3))), k=0,1,2
т.е. получили ровно 3 комплесных корня
ещё одно замечание:
b=R*(cosB+i*sinB).. R=?
мы знаем, что b=Re(b)+i*Im(b)
R=sqrt(Re(b)^2+Im(b)^2)
cosB=Re(b)/R, sinB=Im(b)/R..

вот ::)

Уравнения 3-й степени

Demo_S — Fri, 18 Apr 2003 19:54:21 +0000

Demo_S: среди делителей только рациональные корни.. а иррациональные по формулам кардано все можно найти:)

Уравнения 3-й степени

@Hgpeu — Fri, 18 Apr 2003 18:14:25 +0000

@Hgpeu: Решается всегда (но не всегда хорошо!) с помощью формулы Кардано (кажется).

Уравнения 3-й степени

CHIH.net — Fri, 18 Apr 2003 18:09:44 +0000

CHIH.net: Среди каких чисел искать корни ? Помнится делители первого числа на делители последнего. И как решать их с помощью схем Горнера ?