Ну, погоди! Или ужастики в математике.

у кого-нить есть хорошая ссылочка или объяснение к модели волков и зайцев?
вот мне не совсем понятно в модели

x = x(t) - зайцы
y = y(t) - волки

x' =  a*x - c*x*y
y' = -b*y+ d*x*y

так вот мне непонятно, почему в качестве количества съеденных зайцев за малый промежуток времени dt есть c*x*y*dt
почему  берется именно произведение, а не напрмер их процентное сотношение?
плиз помогите.

Сообщение отредактировано: vot - 16.01.03, 11:08

Цитата esperanto, 15.01.03, 18:42:19

вспомни правила вычисления производных

ну, вы даете. я спрашиваю про физический смысл. разобрались бы с моим вопросом сначала.

Ну так, число x*y показывает вероятность встречи зайца и волка. Что ведет к смерти зайца. Коэффицент c показывает какова вероятность, что эта встреча произойдет. Скорее всего этот вопрос относится не к вычеслению производных, а к теории вероятности.

Цитата

x' =  a*x - c*x*y
y' = -b*y+ d*x*y

Что численность съеденных зайцев пропорциональна y очевидно. Но следует учитывать ещё и трудность с поиском добычи. При нулевом числе зайцев найти их невозможно. С ростом числа зайцев растет возможность хищника по поиску добычи. Предполагается, что хищник всегда готов есть, всегда голоден - и при увеличении числа зайцев в два раза в два раза возрастает число попавшихся хищникам на узкой дорожке. А т.к. хищник всегда голоден.... Ну и соответственно меняется число хищников.

Есть более сложная модель, учитывающая насыщение хищника:
x' =  a*x - c*x*y/(1+f*x)
y' = -b*y+ d*x*y/(1+f*x)

здесь при малом числе зайцев  волк есть всех кого встретит, т.к. живет в проголодь. Но когда зайцев в избытке, то один волк есть лишь c/f зайцев.

спасибо. господин-Тень, вы классно объяснили! вопрос. те например параметр с подбирается, чтобы произведение с*х было меньше 1?

Сообщение отредактировано: experimenter - 15.01.03, 21:19

да. и вот еще вопрос. вот нам дали такую модель

x' = x(a - b*x - c*y)
y' = y(d - e*x)

a,b,c,d,e >0

так вот. как я понял для хищника произведение x*y должно иди с плюсом, тк он поел и скорость увеличения популяции должна увеличится, а для популяции зайцев произведение должно идти с минусом, тк это ничего им не дает кроме как съедение их сородичей. так вот я не могу понять кто из них волк (х или y), а кто заяц. и что означает
-*b*x^2 для х' (накой его туда засандалили)
подсобите, кому не трудно.

Цитата

вопрос. те например параметр с подбирается, чтобы произведение с*х было меньше 1?

нет. Произведение может быть как больше единицы, так и меньше. Это среднее число зайцев, поедаемых волком, в зависимости от числа зайцев. Так, если единица времени - день, то скорее всего, произведение будет меньше единицы. Но если единица времени - год, то оно будет больше единицы.

Цитата

да. и вот еще вопрос. вот нам дали такую модель

x' = x(a - b*x - c*y)
y' = y(d - e*x)

a,b,c,d,e >0

так вот. как я понял для хищника произведение x*y должно иди с плюсом, тк он поел и скорость увеличения популяции должна увеличится, а для популяции зайцев произведение должно идти с минусом, тк это ничего им не дает кроме как съедение их сородичей. так вот я не могу понять кто из них волк (х или y), а кто заяц. и что означает  
-*b*x^2 для х' (накой его туда засандалили)
подсобите, кому не трудно.

1. Это не волки и зайцы. Это матмодель двух конкурирующих популяций - что-то типа двух видов зайцев. Хищных и пожирающих друг друга (какие ужасы появляются на этом форуме). Они могут выживать самостоятельно (a*x, d*y), а могут пожирать друг друга (c*x*y, e*x*y).

2. -b*x^2.  У первой популяции есть внутренняя конкуренция. Предолагается, что за единицу времени происходит b*x^2 схваток внутри x, причем все со смертельным исходом. Т.е. при увеличении популяции в два раза, смертность от внутренней грызни увеличивается в четыре.

Кстати, как предмет (если это предмет) называется? У нас такие модели были в курсе "матмодели естествознания". Как раз четырнадцатого сдал.

x' = F(x,y);
y' = G(x,y);

Когда не известен явный вид функций F(x,y) и G(x,y), но, по крайней мере
известно, что при x=0, y=0 они равны f0 и g0. То просто раскладываешь их в ряд
до какой-нибудь степени в окрестности точки (0,0)

F(x,y) = f0 + (f1*x + f2*y) + (f3*x^2 + f4*y^2 + f5*x*y) + (f6*x^3 + f7*x^2*y + f8*x*y^2 + f9*y^3) + ...

G(x,y) = g0 + (g1*x + g2*y) + (g3*x^2 + g4*y^2 + g5*x*y) + (g6*x^3 + g7*x^2*y + g8*x*y^2 + g9*y^3) + ...

А потом из физического смысла (эмпирически) подбираешь коэффициенты

Цитата S.Yu.Gubanov, 16.01.03, 11:21:08

Когда не известен явный вид функций F(x,y) и G(x,y), но, по крайней мере известно, что при x=0, y=0 они равны f0 и g0. То просто раскладываешь их в ряд до какой-нибудь степени в окрестности точки (0,0)

Далеко не всегда верно. Скажем, нижеприведенную систему выводили совсем не таким способом:

x' =  a*x - c*x*y/(1+f*x)  
y' = -b*y+ d*x*y/(1+f*x)  

спасибо, мужики, большое! предмет называется нелинейные дифуры.

Цитата EXPERIMENTER, 15.01.03, 18:46:47

ну, вы даете. я спрашиваю про физический смысл. разобрались бы с моим вопросом сначала.

сформулировали бы вопрос нормально

Цитата esperanto, 16.01.03, 14:46:35

сформулировали бы вопрос нормально

из всех ответевших не поняли только вы.  ;D

Цитата shadeofgray, 16.01.03, 12:08:07

Далеко не всегда верно. Скажем, нижеприведенную систему выводили совсем не таким способом:

x' =  a*x - c*x*y/(1+f*x)  
y' = -b*y+ d*x*y/(1+f*x)  

Ну, так, эта система предполагает, что x - может быть очень большим,
а я говорил про окрестность точки (x=0, y=0)...

x' =  a*x - c*x*y/(1+f*x)  ==> a*x - c*x*y + c*f*y*x^2 + ...
y' = -b*y+ d*x*y/(1+f*x)  ==> -b*y + d*x*y - d*f*y*x^2 + ...

у меня есть две системы, общий вид которых сводится к

y' = G - A + R

вторая модель по мнению авторов более точно описывает предметную область (за счет детализации функций G, A, R), чем первая модель.

провожу расчеты - они не подтверждают предположения авторов.
что мне даст пошаговое сравнение значений функций G, A, R?
это скорости протекания процессов из предметной области?

какие варианты тестов можно использовать в данном случае (я понимаю, что не видя модели сложно что-то советовать, но все же может есть какой опыт...)?

может какую литературу, источники посоветуете о подобных моделях...

В случае нелинейных систем человеческая интуиция оказыватся в дауне. Примеров множество. Известно, что даже добавление малых нелинейных членов может качественно изменить поведение системы.

В чем выражается неподтверждение ожиданий авторов?

Сообщение отредактировано: Math - 10.01.05, 11:24