Алло, гараж!

[experimenter]

проблема такова. есть завод, а на нем станки.
станок может быть в одном из 5ти состояний,
1ое это самое классное,те станок 100\% эффективный,
2ое это похуже, эффективность уже 90\%,
...
а 5ое -это станок сломался, те эффективен на 0\%.
вектор эффективности

Q = (q1, q2, ... q5) = (1 0.9 ... 0)

матрица перехода станка из состояния i в j - P,где 5ое состояние является поглощающим
короче

P =
   [0.8  0.15     0.04 0.01 0
    0    0.6  0.2 0.15 0.05
    0    0    0.5  0.35 0.15
    0    0    0     0.6  0.4
    0    0    0    0    1.0];

те станки только ломаются.
надо, чтобы на заводе было опр. кол-во в среднем станков при учете, что каждый
день привозят какое-то количество новых станков.
те если М - вектор состояния завода,

М = (м1, м2, ... м5)

мi - количество стаков в iом состоянии.
короче два соседних дня связаны уравнением

M(n+1) = M(n)*P + U,где


U = (N 0 0 0 0),

где N - кол-во новых машин, привозимых каждый день.
так вот, это все были прилюдия для того, чтобы было понятно откуда ноги растут.
на самом деле необх-мо док-ть
что скалярное произведение векторов Q*M(n) при n -> бесконечность стремится к
конечному ненулевому приделу, при N > 0 (понятно, что старые машины будут накапливаться
на заводе, но это фигня, тк их эффективность равна нулю)
Короче, вот уравнение

M(n+1) = M(n)*P + U

надо док-ть, что
сущ.конечный предел предел

Lim Q*M(n)
n-> oo

я чую, что должно быть просто, но как доказать не пойму.

Сообщение отредактировано: experimenter - 12.04.03, 07:09

[shadeofgray]

Во-первых, забудем про неработающие машины - оставим только четыре состояния. Если машина перестаёт работать, то её не существует.
Во-вторых, официально закрепим тот факт, что станки только ломаются - т.е. ниже главной диагонали матрицы стоят только нулевые элементы. В третьих, считаем что на главной диагонали стоят ненулевые и не равные единице элементы - вероятность ухудшения состояния станка не 100\%, но и не ноль.

Тогда получаем следующую систему:
x(n+1)=M*x(n)+u, где x - состояние, M - матрица переходов, u - поступление станков. Пусть x^* - искомое состояние равновесия, тогда x^*=M*x^*+u. Получили систему линейных уравнений (M-E)*x^*=-u. E - единичная матрица. Матрица системы треугольная (см. пункт 2) с диагональю из ненулевых элементов (пункт 3), а значит определитель матрицы не ноль и существует единственное решение системы - искомое состояние равновесия.

Теперь надо доказать, что любая последовательность состояний стремится к нему. Представим состояние x как x=x^*+x', применим к нему оператор системы, получим M*(x^*+x')+u=x^*+M*x'. После n-кратного применения получим x^*+Mⁿ*x'. Осталось доказать, что Mⁿ стремится к нулю. При умножении верхнетреугольных матриц элементы главной диагонали возводятся в квадрат, и в данном случае стремятся к нулю. Если расписать на бумаге произведение двух верхнетреугольных матриц, то несложно доказать, что при стремлении к нулю главной диагонали, стремятся к нулю и элементы той, что выше. А если стремятся к нулю две диагонали, то стремится и третья и т.д. Т.е. пределом Mⁿ является нулевая матрица, и x(n+1)->x^*.

[experimenter]

спасибо огромное. еще раз спасибо.