Ортогональная матрица

Народ, подскажите, как определить, является ли квадратная матрица ортогональной? Насколько я знаю, признак ортогональной матрицы: A*Aт=E, где Ат - транспонированная матрица, Е - единичная матрица. Заранее благодарен!

Сообщение отредактировано: MARcoDEN - 22.04.03, 15:57

Тупо умножить ИМХО проще всего.
Ещё можно получить гауссом обратную к А матрицу - должна получиться она же, если получилась - значит ортогональная.

Чего-то я притормаживаю сейчас, так что сильно не бейте если обманул

Цитата HOMO PROGRAMMATIS, 21.04.03, 15:52:30

Ещё можно получить гауссом обратную к А матрицу - должна получиться она же, если получилась - значит ортогональная.

Нда с этим ты что-то переврал.

А вот насчет умножить и проверить нормальный вариант. Я ведь так понял, что Aт, он имел в виду транспонированную. Ессно, что зачение единичной, если получится, будет приближенным. Так что проверять нужно насколько отличаются результирующая матрица а не на равенство.

P.S. Переношу тему в алгоритмы, т.к. к спп она отношения не имеет.

Сообщение отредактировано: Leprecon - 21.04.03, 12:06

Цитата MARcoDEN, 21.04.03, 15:21:11

Насколько я знаю, признак ортогональной матрицы: A*Aт=E, где Ат - транспонированная матрица, Е - единичная матрица. Заранее благодарен!

Верно, но не совсем.

Одно дело ортогональная матрица - из ортогональной системы столбцов. И немного другое дело ортонормированная матрица - ортогональная матрица, в которой норма каждого столбца равна единице.

Так вот, указанный признак верен, но - это признак ортонормированной матрицы.
Если надо проверить ортогональность, без требования нормированности столцов, то произведение должно быть всего лишь диагональной матрицей, а не единичной.

Нет, фишка в том, что нужно проверить ортогональность, используя только исходную матрицу, т.е. А.

Сообщение отредактировано: MARcoDEN - 22.04.03, 15:57

Цитата MARcoDEN, 22.04.03, 19:56:41

Нет, фишка в том, что нужно проверить ортогональность, используя только исходную матрицу, т.е. А.

ну так и надо:
перемножить А на А^T и проверить результат на диагональность.

Цитата shadeofgray, 22.04.03, 21:29:19

ну так и надо:
перемножить А на А^T и проверить результат на диагональность.

А примерчик можно?  :

const
      epsilon = 1E-6;//
var
      A : array [1..n,1..n] of Real;
      D : Real;
      I : Integer;
      J : Integer;
      K : Integer;
 
Result := True;
for I:=1 to N do
    for J:=1 to N do
    begin
        D := 0;
        for K:=1 to N do
            D := D + A[K,I]*A[K,J];
        if (I=J) and (Abs(D)<epsilon) then
            Result := False;
        if (I<>J) and (Abs(D)>=epsilon) then
            Result := False;
    end;

Сообщение отредактировано: Math - 11.04.05, 10:48

Огромное спасибо!  :D

Привет! Возник вопрос: есть два вектора a, b, равные по норме (все происходит в n-мерном комплексном пространстве), тогда существует ортогональная матрица U, такая, что верно a = Ub. Как это доказать? Считаем, что в данном простанстве ортогональная матрица U - это матрица, для которой UU* = единичная матрица, где * - эрмитово сопряжение (транспонирование и комплексное сопряжение).

Подсказка: подумай - что за преобразование пространства определяет умножение на эту матрицу?


Только какое это имеет отношение к алгоритмам?

Здравствуйте! Ортогональная матрица определяет поворот, только мне это не помогло.. А задачка решилась вот так: системы {a} и {b} дополняем до ортонормированных базисов, составляем матрицы A и B из базисных вектор-столбцов, тогда искомая матрица U равна AB*. Прошу прощения за то, что поместила сообщение в "Алгоритмы", не нашла, где бы его поместить более подходящим образом, видимо, плохо искала.

Так конструктивнее, но через поворот было бы короче и элегантнее.

Всем привет) у мну тож задачка на ортонормированную матрицу, нужно просто проверить является ли она таковой или нет, насколько я понял нужно построить транспортировануую к ней матрицу, и если при умножение получиться единичная, то тада она таковой является, я правельно понял?

Нет.
Нужно писать "правИльно", "транспоНированНую", "получится" (без мягкого знака). Жаргонизмы я пропускаю.
Кроме того, неправильно употребляется местоимение в последнем предложении: "она таковой и является" по тексту отностится к единичной (матрице).