Уравнение 8-й степени

[Krezzy]

Господа!

Подскажите пожалуйста алгоритм нахождения X из нижеследующего уравнения.

C = X^8 + X^7 + X^6 + X^5 + X^4 + X^3 + X^2 + X

"^" - степень

[deil]

I.
1) выносим Х за скобку => x*(x^7+...+1)=0 => x=0
2) по схеме Горнера пробуем корень x=-1, подходит..
   после деления на x-1 получаем x^6+x^4+x^2+1=0
3) заменяем x^2 на y: y^3+y^2+y+1=0
   очевидно, что y=-1 - корень (x^2=-1, действительных корней нет)
   по схеме Горнера получаем, что после деления на y-1:
   y^2+y=0
4) выносим y за скобку:
   y*(y+1) = 0 => y=0, y=-1 => x=0

в итоге: x=0, x=-1

II.
домножаем искомое уравнение на x-1 (т.к. х=1 - не корень, то сделать это можно):
(X^8 + X^7 + X^6 + X^5 + X^4 + X^3 + X^2 + X)*(Х-1) = x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2-x^8-x^7-x^6-x^5-x^4-x^3-x^2-x = x^9-x=x*(x^8-1)
корни => x=0, x=1, x=-1
но x=1 - это не корень искомого многочлена, а корень x-1=0, поэтому корни только 0 и -1

вот..

Сообщение отредактировано: DEiL - 26.04.03, 19:42

[GrAnd]

2DEiL^
А как же константа С?????????

[deil]

ооййййй :
а я что? а я ничего! ;D
мм.. пусть C=0! ;D

[deil]

а тогда...
I) по схеме Горнера пробуем в качестве корней все целые делители С (в т.ч. и отрицательные). таким образом стараемся "спуститься" до 4-й степени. если вышло - считай повезло, дальше все корни точно найдём.. а если нет, то значит существуют иррациональные или комплексные корни..
II) домножаем искомое уравнение на x-1 (т.к. х=1 - не корень, то сделать это можно):
(X^8 + X^7 + X^6 + X^5 + X^4 + X^3 + X^2 + X - C)*(Х-1) = x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2-с*х-x^8-x^7-x^6-x^5-x^4-x^3-x^2-x+с = x^9-c*x-x+c = x^9-x*(c-1)+c; далее см. п. I

по-другому пока не умею...

кстати.. можно попробовать сделать так:
] f(X) = X^8 + X^7 + X^6 + X^5 + X^4 + X^3 + X^2 + X - C
f'(X) = 8*x^7+7*x^6+6*x^5+5*x^4+4*x^4+3*x^2+2*x+1
приравняем производную к 0: f'(X) = 0 => существует единственный корень Х0, лежащий где-то между 0.5 и 1.0 (в районе 0.7.. точнее считать не необходимо). отсюда вывод: сначала f(X) убывает, а потом возрастает. другого не дано. а значит возможны варианты -
а) при С меньше некоторой константы (отрицательная, в окрестности 0) - корней нету
б) при С=f(X0) - единственный корень
в) при С больше f(X0) - два корня, по разные стороны от Х0. причём, судя по  большой степени f(X), эти корни находятся в достаточно малой окрестности Х0. исходя из всего этого, можно с определённой точностью найти оба корня, например методом деления отрезка пополам

вот. надеюсь теперь не так сильно облажался

[esperanto]

когда вынесли х за скобки
получили ур-е седьмой степени
у него всегда есть решение ищем его численными методами
а затем делим уравнение на х-решение и получаем ур-е шестой степени а там
уже по обстановке

[tserega]

Народ!!! Читайте прошлые топики!!!!!!
Я писал об таком решении про уравнение третей степени!!!!
Принцип-то тот же  >:(