приближение рядом Фурье

Привет, народ!

Не подскажите ли ответ на такой вопрос:
 как приблизить рядом Фурье функцию, заданную несколькими точками на некотором отрезке?  ???
                         
Если конкретнее: не понятно, как найти коэффициенты ряда фурье для функции на отрезке (функция-то у нас не периодическая).  :(
        Спасибо.

Для непериодических функций используется интеграл Фурье. Если хочешь аппроксимировать рядом, то он полюбому получится периодической функцией.

это можно сделать через решение системы линейных уравнений. скажем, есть две функции f1, f2, и две точки x1 и x2.

в x1: c1*f1(x1)+c2*f2(x1)=y1
в x2: c1*f1(x2)+c2*f2(x2)=y2

получили систему линейных уравнение относительно c1, c2.

аналогично для более сложных наборов.

В принципе, когда много точек, можно и интегралом - даже быстрее, наверно... Но для малых наборов точек лучше через систему уравнений - интеграл будет слишком неточен.

Цитата TopGun, 21.06.03, 07:49:57

не понятно, как найти коэффициенты ряда фурье для функции на отрезке (функция-то у нас не периодическая).

Диапазон изменения фукции нормируется к диапазону -Pi..Pi. В общем случае, при подборе участвуют Sin и Cos.   A1*Sin(X)+A2*Cos(X)+A3*Sin(2*X)+A4*Cos(2*X)+...
Поиск коэффициентов осуществляется как в извесной аппроксимации полиномами методом МНК.

Цитата shadeofgray, 21.06.03, 12:01:21

это можно сделать через решение системы линейных уравнений.

Цитата PAV, 21.06.03, 13:51:55

Поиск коэффициентов осуществляется как в извесной аппроксимации полиномами методом МНК.

Уточнение.
Первый случай - это когда искомая функция должна проходить точно через точки {xi,yi}.
Второй случай  - это когда искомая функция должна проходить очень близко от точек {xi,yi}.

помоему ето делается с помощью самого обычного преобразования фурье, а вовсе не "методом наименьших квадратов". к тому же наверняка метод наименьших квадратов даст такую же формулу, что и фурье.

Цитата wormball, 27.06.03, 16:19:40

помоему ето делается с помощью самого обычного преобразования фурье, а вовсе не "методом наименьших квадратов". к тому же наверняка метод наименьших квадратов даст такую же формулу, что и фурье.

Преобразование Фурье проводится через интегрирование. Если дано малое число точек, то интеграл посчитается с большой погрешностью, и вместо интерполяции получим аппроксимацию (скорее всего, хуже, чем интерполяция). Т.е. по пяти точкам интеграл считать не очень-то... Разве что квадратуры....

Если же решать системы лин. уравнений, то можно получить точное решение.

Цитата shadeofgray, 28.06.03, 11:35:46

Преобразование Фурье проводится через интегрирование. Если дано малое число точек, то интеграл посчитается с большой погрешностью, и вместо интерполяции получим аппроксимацию (скорее всего, хуже, чем интерполяция). Т.е. по пяти точкам интеграл считать не очень-то... Разве что квадратуры....

Если же решать системы лин. уравнений, то можно получить точное решение.

есть дискретное преобразование фурье есть непрерывное
коеф-ты фурье считаются как обычное разложение по ортонормированному базису

если решать для МНК то получим те же решения так как базиз ортонормирван

поэтому спор Фурье МНК тут не уместен

Цитата esperanto, 28.06.03, 19:23:44

поэтому спор Фурье МНК тут не уместен

Просто Методом Наименьших Квадратов можно подгонять (с тем или иным успехом) даже тогда когда количество подгоняемых коэффициентов заведомо меньше, чем реальное число степеней свободы (т. е. взят не полный базис), в результате мы получим, некую функцию, которая проходит достаточно близко от заданных точек {Xi,Yi}.

Не забавайте, что, в общем случае произвольная функция разлагается в ряд по ортогональному базису только для бесконечного числа членов ряда. ==> Произвольный набор точек, отрезком ряда Фурье,  можно только аппроксимировать. Второе, применение ДФП требует равономерного шага аргумента дискретной функции. С применением МНК это это ограничение снимается.

умные вы все! а я всё равно умнее! ;D

фурье ето тот же метод наименьших квадратов, только расстояние определяется немного не так.

                L
фурье: r=integral(f(x)-y(x))^2 dx
                0

              N
мнк:    r=sum(f(xn)-y(xn))^2
             n=1

в фурье уменьшение расстояния достигается путём увеличения числа гармоник, а в мнк путём подгонки коэффициентов.

но vot что я вам скажу: у меня такое ощущение, что автор вопроса не знал подобных тонкостей и ему было нужно самое обычное дискретное преобразование фурье.

Цитата wormball, 30.06.03, 20:10:28

умные вы все! а я всё равно умнее! ;D
                L
фурье: r=integral(f(x)-y(x))^2 dx

Vot eto проеобразование от wormball  ;D. За покойника обидно  :'(, а он нам завещал работать в комплексной области  .

G(\sigma)=\frac{1}{2 \pi}\int_0^\infinity\limits g(t) e^{-i \sigma t} dt -- прямое преобпазование
g(t) = \frac{1}{2 \pi}\int_{-\infinity}^\infinity\limits G(t) e^{i \sigma t} d\sigma

Запись формул TeX-овская.
\frac{...}{...} - дробь
\int - символ интеграла
_ - нижний индекс
^ - верхний индекс

Сообщение отредактировано: PAV - 01.07.03, 09:57

2PAV

ты снова придираешься к частностям! ну и что что в комплексной области, всё равно в фурье интеграл, а в мнк сумма. к тому же твоя теховская запись непонятна, даже несмотря на заботливо сделанные тобой пояснения.

Вы прямь как дети! Нет что бы дать исходник, мучаете бедного чела...Хотя Фурье - 2 семместр

to wormball

Цитата

ты снова придираешься к частностям!

ФП (правда с души воротит от такой записи)

            1        бескон.
G(x)= --------  integral g(t) e^{-i x} dt
      sqrt(2 Pi)       0

В предыдущей записи пропустил корень, иногда ФП записывают без норимирующей дроби, только интеграл
i - мнимая единица
e- основание натурального логарифма
t - переменная в пространстве  оригиналов
x - переменная в пространстве изображений
g(t)-функция в пространстве  оригиналов
G(t)-функция в пространстве изображений

Причем здесь (f(x)-y(x))^2? Общее между этой записью и вашей только операция интегрирования, и это называется частностью?  Если же возникают сомненья посмотрите в книгах.

Цитата

фурье уменьшение расстояния достигается путём увеличения числа гармоник,

с постоянными коэффициентами  при cos,sin увеличение числа гармоник их сумма устремляется к белому шуму.

to LeonGrew
Старые, поношенные вещи раздаю... Ну дам исходник, только чего и куда выслать

2PAV

твоя функция G - ето сам коэффициент, который получается как раз минимизацией того расстояния R, которое написал Я.

Цитата PAV, 15.07.03, 14:16:24

с постоянными коэффициентами  при cos,sin увеличение числа гармоник их сумма устремляется к белому шуму.

это со СЛУЧАЙНЫМИ коэффициентами, а если коэффициенты равны интегралам с функцией, то ряд фурье сходится к данной функции, даже есь такая теорема о стремлении коэффициентов фурье к нулю. на то он и ряд фурье ;D ;D

Сообщение отредактировано: wormball - 15.07.03, 10:49

Цитата

твоя функция G - ето сам коэффициент

???
Произвольная комплексная функция есть вещественная константа. Ну-ну, что еще сообщим миру?

Цитата

это со СЛУЧАЙНЫМИ коэффициентами

Нет. Белый шум, по определению, имеет равномерный непрерывный спектр т.е. частота первой гармоники ->0 и все коэффициенты при тригонометрических функциях равны.
----
Если желаете чтобы Вас поняли, яснее выражайте мысли. Без обид, да?.
----
Да, кстати, какая существует связь между нормами функций, в частность между ФП и МНК, мне объяснять не надо, я это знаю. Есть методы рещения задач мат. физики основанные на этой связи (методы колокаций, минимальной невязки и д.р.), мне всилу профессиональных обязанностей, приходится их решать и аналитически и численно.

PAV, при всем моем уважении, белый шум лишь только теоретически
имеет равномерный спектр. Нагенерируйте сами выборку и сделайте ПФ -
получится также нечто шумоподобное. Может быть, приближение
к равномерному спектру будет происходить при увеличении длины серии.

Цитата PAV, 17.07.03, 12:56:55

Произвольная комплексная функция есть вещественная константа. Ну-ну, что еще сообщим миру?

функция от числа есть число! ;D ;D

всмысле при фиксированном t0 G(t0) будет коэффициентом при косинусе с циклической частотой t0.

вещественная или комплексная - не суть важно, ведь разложению в ряд фурье можно подвергнуть как вещественную, так и комплексную функцию.

зы. я знаю, что ты всё знаешь ;D ;D ;D ;D ;D ;D ;D

ззы. и хватит Выкать!

зззы. помоему ето всё больше напоминает флейм ;D

Сообщение отредактировано: wormball - 17.07.03, 10:20

И точно, переставайте флеймить и попробуйте применить ПФ на практике:
Суть задачи.
Пусть есть некоторый приборчик, ну, например, детектор уровня шума (в смысле звука) и источник этого самого шума (с постоянным уровнем), который равномерно и прямолинейно перемещается рядом с этим приборчиком. И с этого приборчика снимается зависимость уровня шума по времени, пусть дискретно, хотя и не важно. Как по этой зависимости определить (оценить) скорость перемещения источника шума относительно детектора?
Давайте пока считать условия задачи самыми простыми - типа, фон =0, влияние посторонних объектов =0, эффект Доплера = 0  :) и т.п.
Можно ли решить эту задачу с помощью ПФ?

to Grai
А белый шум и есть понятие сугубо теоретическое. В природе его существовать не может т.к. бесконечно большая скорость (спектр не оганичен) изменения какого либо материального объекта требует бесконечно большой затраты энергии.

to Adin
Если предположить, что источник шума точечный, то плотность потока мощности убывает пропорционально квадрату расстояния, и следовательно, выходной сигнал с "микрофона". Дополнительно надо знать расстояние до источника шума при каком либо отсчете.При распределенном источнике задача становится сложнее и может быть не разрешима.
А ФП не панацея, оно ведь только преобразование и никакой новой информации не дает.
Просто оно удобно для вычисления сверток.

вобще если у тебя из источников звука только твой объект, то проще не мудрствовать лукаво и просто измерять величину эдс переменного тока на твоём микрофоне, расстояние будет обратно пропорционально квадрату эдс. однако ежели у тебя есь два источника, излучающие на разных частотах, тут конечно без фурье не обойтись. да и то если нет доплера, можно полностью разложить в фурье только маленький участок записи, чтобы узнать положение максимумов, а потом для экономии машинного времени вычислять коэффициенты фурье только для двух максимальных частот.

PAV, осторожнее с моим ником

Для ГСЧ нет явных ограничений по скорости нарастания, разве что в связи
с диапазоном результата. Если же это кажется Вам существенным,
Вы не должны применять термин "белый шум" ни к каким данным.

Уровень сигнала лишь только вдали от источника убывает пропорционально
квадрату расстояния, в ближней зоне - пропорционально кубу.

Цитата Crait, 17.07.03, 18:04:05

Уровень сигнала лишь только вдали от источника убывает пропорционально
квадрату расстояния, в ближней зоне - пропорционально кубу.

????????????????????

warmball,
да, это так (на расстояниях, соизмеримых с длиной волны).

Цитата Crait, 17.07.03, 18:25:20

warmball,
да, это так (на расстояниях, соизмеримых с длиной волны).

ты ето уже сказал ;D

Цитата Crait, 17.07.03, 18:04:05

Уровень сигнала лишь только вдали от источника убывает пропорционально
квадрату расстояния, в ближней зоне - пропорционально кубу.

я хочу знать почему?

у меня одна гипотеза - диполь дипольное взаимодействие. всмысле источник звука представляется как антенна, генерирующая звук, а микрофон - как приёмная антенна. в таком случае интенсивность принятого звука должна зависеть и от ориентациии источника и приёмника. кстати хорошо бы подумать, почему етого не наблюдается в реальной жизни ;D

warmball,
ну шо тебе сказать,
формулу(ы) вот прямо сейчас привести не могу (по причине, как говорится,
провалов памяти) однако же есть уравнения с кривыми интегралами,
строго описывающие это явление.
Приемная антенна - не обязательно диполь. Речь идет о напряженности поля.

(ы) ;D

а слабо додуматься, почему на больших расстояниях сия формула не действует?

поидее наверное ето потому, что звук является продольной волной, а не поперечной, как радиво.

приёмник звука представляет собой насколько я понимаю плоскую мембрану, воспринимающую только нормальноые к ней колебания, так что он тоже ориентирован. другой вариант - просто манометр, записывающий колебания давления вне зависимости от ориентации. но я думаю, что в данном случае всё же зависимость будет не кубичной, а квадратичной, ибо в случае с мембраной мы берём фактически производную поля, а в случае с изотропным микрофоном мы записываем само поле. одним словом, я думаю, что зависимость громкости от расстояния сильно зависит от способа генерации и приёма звука. надо будет на досуге подумать и порассчитывать.

Сообщение отредактировано: wormball - 17.07.03, 15:04

СлобО. И тебе тоже слабО.
А для меня достаточно, что кто-то ее вывел. А дел и так хватает.

Насколько я понимаю, между радиоволной и аккустической - прямое соответствие.
Напряженность поля зависит от способа генерации лишь только в ближней зоне.

Цитата Crait, 17.07.03, 19:14:52

И тебе тоже слабО.

с вашего позволения расцениваю ето как вызов. завтра посмотрим ;D

а ща я смываюсь..

OK.

Ну, мужики, вы даете! Я ж предложил - не флеймить!
Так как все-таки найти скорость?

to PAV. Я ж предоложил - максимально упрощаем: пусть источник точечный, интенсивность спадает пропорционально квадрату расстояния, известен прицельный параметр (расстояние в максимуме зависимости)

to Adil

Величина сигнала при максимальном сближении источника и микрофона, отсчет 0
U₀=U^Ш*Sqrt(R₀)
R⁰ - минимальное расстояние
U^Ш- интенсивность сигнала при нулевом сближении источника и микрофона

Величина сигнала при отсчете 1
U₁=U^Ш*Sqrt(Sqrt(R₀²)+L²)
В результате получили систему из 2-х нелинейных уравнений, для 2-x неизвестных
U^Ш и L, интуичия подсказывает, что ее можно решить аналитически и получить формулу, в противном случае решаем численными методами.

Цитата Adil, 18.07.03, 11:30:27

Ну, мужики, вы даете! Я ж предложил - не флеймить!

ето не флейм, тут всё серьёзно ;D

2Crait

пожалуй мне всётаки слабо, по крайней мере в аналитическом виде за 1 вечер. однако это не значит, что я совсем ни к чему не пришёл. я могу пощитать чисельно на основании волнового уравнения и высосанной мною вчера из пальца модели динамика. волновое уравнение

  i dU/dt=a^2*ДU, где Д - лапласиан.

квантовая механика учит, что стационарное состояние описывается следующим способом:

  U=u(x, y, z)*exp(iwt), причём

 Дu=Eu,

где Е - вещественная константа, именуемая в квантовой механике энергией. помнится, она пропорциональна частоте.

модель динамика такова: он представляет из себя круг в плоскости ху с центром в начале координат, предел функции u в котором при z>0 равен P, а при z<0 равен -Р. в оставшейся части плоскости ху функция u равна нулю в силу симметрии и непрерывности. vot и всё.

также я думаю, что кубичность зависит скорее не от длины волны, а то величины динамика.

да и вобще я думаю, что давление будет обратно пропорционально 1й степени расстояния, а вблизи динамика ещё меньшей степени.

2PAV

ты чоето такое понаписал??

Сообщение отредактировано: wormball - 18.07.03, 10:34

Выводы насчет кубической зависимости в ближней зоне были получены
для излучателя с размерами около половины длины волны.

А причем тут квантовая механика ? Привлекаешь аналогии ?

КЕМ были получены?

и что ты имеешь против квантовой механики?

Кем - затрудняюсь ответить. Нам их давали в курсе АУСВЧ без называния автора.
Против квантовой механики я имею то, что она тут, похоже, не очень уместна.
В этой области, как говорится, рулят уравнения Максвела.

уравнения максвелла рулят в электродинамике, тут же чистой воды волновое уравнение. в квантовой механике подобный результат был получен для волнового уравнения вообще.

Эта задача - именно из области электродинамики.
Впрочем, флаг в руки ...

ну ты сказал! потвоему мы должны слышать радиоволны!

а что касается електродинамики, задача о диполь дипольном взаимодействии давно уже решена аналитически, помнится поле диполя убывает как 1/r^2.

Причем тут слышать радиоволны ?

Да, в дальней зоне напряженность поля обратно пропорциональна квадрату расстояния.

притом, что радиво - ето поперечная волна, там есь вектор электрической и магнитной напряжённости, а звук - ето просто колебания давления, там электродинамика неприменима, там надо просто волновое уравнение.

а вблизи диполя никто и не считает поле, по крайней мере аналитически, я думаю легче повеситься, чем вывести такую формулу.

warmball, ты гонишь.
Ухи воспринимать радиоволны не приспособлены

И кто-то не повесился, а написАл диссер.
Есть, кстати, и численные обсчеты поля диполя.
Одно из следствий этих расчетов - то, что для диполя оптимален размер,
немного превышающий половину длины волны.

Сообщение отредактировано: Crait - 18.07.03, 14:04

да нет, ето ты гонишь. для какого диполя и по каким критериям? потипу для антенны?

зы. а то я в своей повседневной практике имею дело с диполями немного другого рода - молекулами ;D

>по каким критериям
По максимальной эффективности излучения (приема тоже).

Все о чем я говорил - для макроскопических объектов.
Можно ли применять эти результаты для молекул и прочих объектов микромира - хз.

Цитата Crait, 17.07.03, 18:04:05

Уровень сигнала лишь только вдали от источника убывает пропорционально
квадрату расстояния, в ближней зоне - пропорционально кубу.

так ето тоже про радиво?

а для молекул такое применяется, напр при выведении формулы для притягивающей части взаимодействия ван дер ваальса.

Сообщение отредактировано: wormball - 18.07.03, 14:42

Да, это про радио. Также, я думаю, и про аккустику, о которой здесь речь.

vot я ищо немного подумаю и решу, применимо ли оно в данном случае. по идее уравнение

   Дu=Eu

должно решаться аналитически, PAV наверняка знает как, более того, в ландафшице ето тоже должно быть написано. хотя с другой стороны сие уравнение не выполняется непосредственно в области, где находится динамик (в круге в плоскости ху).

немного диполей ;D