приближение рядом Фурье

Привет, народ!

Не подскажите ли ответ на такой вопрос:
 как приблизить рядом Фурье функцию, заданную несколькими точками на некотором отрезке?  ???
                         
Если конкретнее: не понятно, как найти коэффициенты ряда фурье для функции на отрезке (функция-то у нас не периодическая).  :(
        Спасибо.

Для непериодических функций используется интеграл Фурье. Если хочешь аппроксимировать рядом, то он полюбому получится периодической функцией.

это можно сделать через решение системы линейных уравнений. скажем, есть две функции f1, f2, и две точки x1 и x2.

в x1: c1*f1(x1)+c2*f2(x1)=y1
в x2: c1*f1(x2)+c2*f2(x2)=y2

получили систему линейных уравнение относительно c1, c2.

аналогично для более сложных наборов.

В принципе, когда много точек, можно и интегралом - даже быстрее, наверно... Но для малых наборов точек лучше через систему уравнений - интеграл будет слишком неточен.

Цитата TopGun, 21.06.03, 07:49:57

не понятно, как найти коэффициенты ряда фурье для функции на отрезке (функция-то у нас не периодическая).

Диапазон изменения фукции нормируется к диапазону -Pi..Pi. В общем случае, при подборе участвуют Sin и Cos.   A1*Sin(X)+A2*Cos(X)+A3*Sin(2*X)+A4*Cos(2*X)+...
Поиск коэффициентов осуществляется как в извесной аппроксимации полиномами методом МНК.

Цитата shadeofgray, 21.06.03, 12:01:21

это можно сделать через решение системы линейных уравнений.

Цитата PAV, 21.06.03, 13:51:55

Поиск коэффициентов осуществляется как в извесной аппроксимации полиномами методом МНК.

Уточнение.
Первый случай - это когда искомая функция должна проходить точно через точки {xi,yi}.
Второй случай  - это когда искомая функция должна проходить очень близко от точек {xi,yi}.

помоему ето делается с помощью самого обычного преобразования фурье, а вовсе не "методом наименьших квадратов". к тому же наверняка метод наименьших квадратов даст такую же формулу, что и фурье.

Цитата wormball, 27.06.03, 16:19:40

помоему ето делается с помощью самого обычного преобразования фурье, а вовсе не "методом наименьших квадратов". к тому же наверняка метод наименьших квадратов даст такую же формулу, что и фурье.

Преобразование Фурье проводится через интегрирование. Если дано малое число точек, то интеграл посчитается с большой погрешностью, и вместо интерполяции получим аппроксимацию (скорее всего, хуже, чем интерполяция). Т.е. по пяти точкам интеграл считать не очень-то... Разве что квадратуры....

Если же решать системы лин. уравнений, то можно получить точное решение.

Цитата shadeofgray, 28.06.03, 11:35:46

Преобразование Фурье проводится через интегрирование. Если дано малое число точек, то интеграл посчитается с большой погрешностью, и вместо интерполяции получим аппроксимацию (скорее всего, хуже, чем интерполяция). Т.е. по пяти точкам интеграл считать не очень-то... Разве что квадратуры....

Если же решать системы лин. уравнений, то можно получить точное решение.

есть дискретное преобразование фурье есть непрерывное
коеф-ты фурье считаются как обычное разложение по ортонормированному базису

если решать для МНК то получим те же решения так как базиз ортонормирван

поэтому спор Фурье МНК тут не уместен

Цитата esperanto, 28.06.03, 19:23:44

поэтому спор Фурье МНК тут не уместен

Просто Методом Наименьших Квадратов можно подгонять (с тем или иным успехом) даже тогда когда количество подгоняемых коэффициентов заведомо меньше, чем реальное число степеней свободы (т. е. взят не полный базис), в результате мы получим, некую функцию, которая проходит достаточно близко от заданных точек {Xi,Yi}.

Не забавайте, что, в общем случае произвольная функция разлагается в ряд по ортогональному базису только для бесконечного числа членов ряда. ==> Произвольный набор точек, отрезком ряда Фурье,  можно только аппроксимировать. Второе, применение ДФП требует равономерного шага аргумента дискретной функции. С применением МНК это это ограничение снимается.

умные вы все! а я всё равно умнее! ;D

фурье ето тот же метод наименьших квадратов, только расстояние определяется немного не так.

                L
фурье: r=integral(f(x)-y(x))^2 dx
                0

              N
мнк:    r=sum(f(xn)-y(xn))^2
             n=1

в фурье уменьшение расстояния достигается путём увеличения числа гармоник, а в мнк путём подгонки коэффициентов.

но vot что я вам скажу: у меня такое ощущение, что автор вопроса не знал подобных тонкостей и ему было нужно самое обычное дискретное преобразование фурье.

Цитата wormball, 30.06.03, 20:10:28

умные вы все! а я всё равно умнее! ;D
                L
фурье: r=integral(f(x)-y(x))^2 dx

Vot eto проеобразование от wormball  ;D. За покойника обидно  :'(, а он нам завещал работать в комплексной области  .

G(\sigma)=\frac{1}{2 \pi}\int_0^\infinity\limits g(t) e^{-i \sigma t} dt -- прямое преобпазование
g(t) = \frac{1}{2 \pi}\int_{-\infinity}^\infinity\limits G(t) e^{i \sigma t} d\sigma

Запись формул TeX-овская.
\frac{...}{...} - дробь
\int - символ интеграла
_ - нижний индекс
^ - верхний индекс

Сообщение отредактировано: PAV - 01.07.03, 09:57

2PAV

ты снова придираешься к частностям! ну и что что в комплексной области, всё равно в фурье интеграл, а в мнк сумма. к тому же твоя теховская запись непонятна, даже несмотря на заботливо сделанные тобой пояснения.

Вы прямь как дети! Нет что бы дать исходник, мучаете бедного чела...Хотя Фурье - 2 семместр

to wormball

Цитата

ты снова придираешься к частностям!

ФП (правда с души воротит от такой записи)

            1        бескон.
G(x)= --------  integral g(t) e^{-i x} dt
      sqrt(2 Pi)       0

В предыдущей записи пропустил корень, иногда ФП записывают без норимирующей дроби, только интеграл
i - мнимая единица
e- основание натурального логарифма
t - переменная в пространстве  оригиналов
x - переменная в пространстве изображений
g(t)-функция в пространстве  оригиналов
G(t)-функция в пространстве изображений

Причем здесь (f(x)-y(x))^2? Общее между этой записью и вашей только операция интегрирования, и это называется частностью?  Если же возникают сомненья посмотрите в книгах.

Цитата

фурье уменьшение расстояния достигается путём увеличения числа гармоник,

с постоянными коэффициентами  при cos,sin увеличение числа гармоник их сумма устремляется к белому шуму.

to LeonGrew
Старые, поношенные вещи раздаю... Ну дам исходник, только чего и куда выслать