Полином n-й степени, способ задания и его n-я производная.

В программировании довольно часто приходится работать с полиномами.
Будь то простое квадратное уравнение или многочлен n-й степени его все-равно
нужно как-то програмно задать. Рассмотрим один из способов задания полиномов:

Общий вид: Pn(x)=a[n]*xⁿ+a[n-1]*x^n-1+...+a[1]*x+a[0]

Если вы захотите его использовать в этом виде то ничего хорошего у вас
не выйдет т.к. прийдется использовать функцию возведения в степень, что в свою
очередь потянет за собой огромное кол-во умножений (2n-1), а операция умножения,
как известно, далеко не самая быстрая. Но это еще не все... Как говорит теория
ошибок, погрешность результата праямопропорциональна кол-ву сомножителей т.е.
чем больше вы делаете умножений, тем выше погрешность результата.
Что же делать? Как уменьшить число умножений? На самом деле все просто.
Вспомним школьную математику и вынесем x за кобки:

Pn(x)=(...(a[n]*x+a[n-1])*x+...+a[1])*x+a[0]

Просмотрев это выражение видно, что мы избавились от операции возведения
в степень и сократили число умножений до n раз, а следовательно, повыслили точ-
ность и скорость вычислений.
Как же его посчитать? Тут тоже все просто: нужно представить коэффициен-
ты полинома в виде массива и организовать примитивный цикл:



Посмотрим как это можно реализовать на Паскале:



Это конечно все хорошо, скажете вы, но что-то все равно это не "греет".
Посмотрим теперь пример, как можно легко и просто посчитать n-ю производную
заданного полинома.
Вспомним правила вычисления производных:

1-я (xⁿ)' = n*x^(n-1)
2-я (xⁿ)'' = n*(n-1)*x^(n-2)
3-я (xⁿ)''' = n*(n-1)*(n-2)*x^(n-3)
. . .
i-я (xⁿ)⁽ⁱ⁾ = n*(n-1)*(n-2)*...*(n-i+1)*x^(n-i)

Или на конкретном примере:

Pn(x) = a[0] + a[1]*x + a[2]*x² + a[3]*x³
Pn'(x) = a[1] + a[2]*2*x + a[3]*3*x²
Pn''(x) = a[2]*2+ a[3]*3*2*x
Pn'''(x) = a[3]*3*2
Pn''''(x) = 0

Как видно из примера, чем выше степень производной, тем меньше остается
сомножителей и тем меньше мы используем коффициентов из массива, сдвигаясь каждый
раз на позицию вправо. Кроме того, не сложно заметить, что ростом степени
производной падает степень и увеличивается коэффициен перед x. Если со степенью
все просто и понятно с первого взгляда: из начальной степени вычитаем степень
производной и если результат меньше нуля, то выбрасываем этот сомножитель вместе
с его коэффициентом. А как же расчитать коэффициент? Если немного присмотреться,
то можно заметить что коэффициет равен частному двух факториалов:

k = a! / (a-i)! , где:

k - коэффициент
a - начальная степень
i - степень производной

Таким образом, получаем формулу:

i-я (xⁿ)⁽ⁱ⁾ = n!/(n-i)! * x^(n-i)

Реализация на Паскале:

                                (С) Лабинский Николай. ДонНТУ 2005.
                                        I love Borland.

Last one modified at: GMT+2 09:18:23 10.03.2005

Добавлено 10.03.05, 09:49
Че скажите?

З.Ы. кому не лень, потестите плиз расчет производной