Тензорное исчисление vs кипячение

[Majestio]

Буэнос ночес, амигос!

Тема – так себе, крик души =) Под пьяную лавочку решил освежить свои давно и надёжно забытые знания по векторному анализу. Решил пообщаться с ChatGPT, и не промазал… Извините за много буквоф!!! А натолкнула на это вот эта прикольная статья про «три всадника векторного анализа» - градиент, дивергенция и ротор. Как я уже писал выше – знания забыты надёжно. Но нет преграды патриотам их освежить!

Промежуточные определения

• Градиент: для скалярного поля f(x, y, z) градиент — это вектор, указывающий направление наибольшего возрастания функции и её скорость изменения, иными словами – мера направления и скорости изменения скалярного поля.
• Дивергенция: для векторного поля F(x, y, z) = (Fx, Fy, Fz) дивергенция — это скаляр, измеряющий "расхождение" или "схождение" поля в точке. Иными словами - мера источника или стока векторного поля в точке.
• Ротор: для векторного поля F(x, y, z) = (Fx, Fy, Fz) ротор — это вектор, характеризующий "завихрённость" поля. Да, это мера завихрённости или локального вращения векторного поля.

Ну хорошо, где-то как-то помню (вспомнил) теорию. Стало как-то на душе спокойнее и теплее, штоле. И тут, совершенно внезапно, вспоминаю термин «тензорный анализ». Эту «шляпу» мы точно в университете не изучали. Туда-сюда, и оказывается, что тензорный анализ – это ни что иное, как обобщение «векторного анализа». Прикольно! Оказывается, что скалярное поле – это тензор нулевого порядка, а векторное поле – это тензор первого порядка. Но если с нулевым и первым порядком уже не всё так просто, что там будет дальше … сливай керосин!

Пока оставлю для памяти

• Для скалярного поля Градиент превращает тензор 0-го порядка в тензор 1-го порядка
• Дивергенция для векторного поля F (тензор 1-го порядка) превращает тензор 1-го порядка в скаляр (в тензор 0-го порядка).
• Ротор для векторного поля F (тензор 1-го порядка) описывает "завихрённость" и сохраняет ранг тензора (вектор → вектор)

И как получилось, у этих терминов в тензорном исчислении появились свои «аналоги»:

• Аналог «градиента» = «Ковариантная производная»
• Аналог «дивергенции» = «Дивергенция тензора»
• Аналог «ротора» = «Тензор кривизны» (одно из определений)

Ну так какие у вас мысли?! Будем тензерное исчисление пользовать в быту, или где?!!

[Qraizer]

Конечно! Кто пытался понять аппарат ОТО, тот без всего этого жить не может. Под градиентом ~40% нормально идёт, и главное, что я из этого вынес – чтоб морда потом об асфальт не дивергертнулась, и ротор в кровати не помешал заснуть.

[Majestio]

Всё зависит от качества производных!