Заполнение плоскости 5-угольниками
 |
Наши проекты:
Журнал · Discuz!ML · Wiki · DRKB · Помощь проекту |
|
| ПРАВИЛА | FAQ | Помощь | Поиск | Участники | Календарь | Избранное | RSS |
| [216.73.216.52] |
|
|
правила раздела Алгоритмы
1. Помните, что название темы должно хоть как-то отражать ее содержимое (не создавайте темы с заголовком ПОМОГИТЕ, HELP и т.д.). Злоупотребление заглавными буквами в заголовках тем ЗАПРЕЩЕНО.
2. При создании темы постарайтесь, как можно более точно описать проблему, а не ограничиваться общими понятиями и определениями.
3. Приводимые фрагменты исходного кода старайтесь выделять тегами code.../code
4. Помните, чем подробнее Вы опишете свою проблему, тем быстрее получите вразумительный совет
5. Запрещено поднимать неактуальные темы (ПРИМЕР: запрещено отвечать на вопрос из серии "срочно надо", заданный в 2003 году)
6. И не забывайте о кнопочках TRANSLIT и РУССКАЯ КЛАВИАТУРА, если не можете писать в русской раскладке
2. При создании темы постарайтесь, как можно более точно описать проблему, а не ограничиваться общими понятиями и определениями.
3. Приводимые фрагменты исходного кода старайтесь выделять тегами code.../code
4. Помните, чем подробнее Вы опишете свою проблему, тем быстрее получите вразумительный совет
5. Запрещено поднимать неактуальные темы (ПРИМЕР: запрещено отвечать на вопрос из серии "срочно надо", заданный в 2003 году)
6. И не забывайте о кнопочках TRANSLIT и РУССКАЯ КЛАВИАТУРА, если не можете писать в русской раскладке
Модераторы: Akina, shadeofgray
Заполнение плоскости 5-угольниками
|
Сообщ.
#1
,
|
|
 |
Это не в тему алгоритмы, а просто научный вопрос, но в таком случае просто подскажите, "куда написать его ?".
Итак: Можно ли одинаковыми пятиугольниками заполнить всю плоскость, чтобы две разные фигуры либо не пересекались (=не имели общих точек), либо имели общей всю сторону ? P.S.вид 5-угольника - любой. |
|
Сообщ.
#2
,
|
|
|
|
домик/штакетина не подойдёт?
|
|
Сообщ.
#3
,
|
|
 |
В принципе, в алгоритмы подобные вопросы не так уж и редко попадают. Обычно здесь и остаются.
|
|
Сообщ.
#4
,
|
|
|
|
Цитата Славян @ P.S.вид 5-угольника - любой. Берем вырожденный случай - квадрат, в котором на одной из сторон есть еще одна вершина. Мостим плоскость квадратом. |
|
Сообщ.
#5
,
|
|
|
Цитата Славян @ Можно ли одинаковыми пятиугольниками заполнить всю плоскость, чтобы две разные фигуры либо не пересекались (=не имели общих точек), либо имели общей всю сторону ? Да. Примеры: Прикреплённая картинка
Цитата Славян @ вид 5-угольника - любой. Для произвольного пятиугольника - нет. |
|
Сообщ.
#6
,
|
|
|
|
Цитата чтобы две разные фигуры либо не пересекались (=не имели общих точек), либо имели общей всю сторону Другими словами, каждая вершина должна быть общей ровно для 2 или 3 фигур, каждая сторона должна быть общей ровно для 2 фигур. Сдается мне, что это невозможно. Akina, у тебя условие не выполняется. n0rd, у тебя тоже. |
|
Сообщ.
#7
,
|
|
|
|
Цитата AVA12 @ Да,AVA12 правильно подметил(а). Akina, у тебя условие не выполняется. n0rd, у тебя тоже. |
|
|
Сообщ.
#8
,
|
|
|
Цитата AVA12 @ каждая вершина должна быть общей ровно для 2 или 3 фигур 3 или более Цитата AVA12 @ каждая сторона должна быть общей ровно для 2 фигур. угу Цитата AVA12 @ Akina, у тебя условие не выполняется Первый вариант не выполняет второе условие. Второй вариант - выполняет оба условия. Прикреплённая картинка
|
|
Сообщ.
#9
,
|
|
|
|
AVA12, второй вариант Akina удовлетворяет условию. Вершина может принадлежать четырем пятиугольникам. Вырожденный случай n0rd тоже подходит. Кстати и пример одного из его замощений.
Прикреплённая картинка
Прикреплённая картинка
|
|
Сообщ.
#10
,
|
|
|
|
Цитата amk @ Ложь. Вершина может принадлежать четырем пятиугольникам Цитата amk @ Нарушение условия,- есть пара фигур, кои пересекаются, но по одной точке.Кстати и пример одного из его замощений. Пожалуйста, будьте внимательнее. |
|
Сообщ.
#11
,
|
|
|
|
Цитата Akina @ Это ещё почему? Цитата (AVA12 @ Сегодня, 19:09) каждая вершина должна быть общей ровно для 2 или 3 фигур 3 или более |
|
|
Сообщ.
#12
,
|
|
|
Цитата Славян @ Это ещё почему? 2 не может быть. Не веришь? нарисуй, вместе похихикаем... 4 - отмечено на рисунке: Прикреплённая картинка
Добавлено Цитата Славян @ Нарушение условия,- есть пара фигур, кои пересекаются, но по одной точке. Пожалуйста, будьте внимательнее. Из этого требования (с учётом остальных требований, отсекающих не-выпуклые элементы) следует, что в любая вершина принадлежит ровно 3 элементам. |
|
Сообщ.
#13
,
|
|
|
|
Невозможно замостить плоскость выпуклыми прямоугольниками конечной площади так, чтобы в каждой вершине сходилось по три фигуры.
|
|
Сообщ.
#14
,
|
|
|
|
Еще раз:
Цитата чтобы две разные фигуры либо не пересекались (=не имели общих точек), либо имели общей всю сторону Я понял это так: фигуры либо не имеют общих точек, либо все общие точки принадлежат общей стороне. Можно трактовать условие мягче: если есть общая точка, то должна быть и общая сторона. Но даже "мягкий" вариант не выполняется, если в вершине сходятся четыре или более фигуры. Теоретически, в общем случае, противолежащие фигуры могут коснуться друг друга какой-нибудь стороной, но в случае одинаковых фигур это, судя по всему, невозможно. Цитата 2 не может быть. Не веришь? нарисуй, вместе похихикаем... MWA-HA-HA! Прикреплённая картинка
|
|
Сообщ.
#15
,
|
|
|
|
Цитата (с учётом остальных требований, отсекающих не-выпуклые элементы) Что это за требования? Откуда? |
|
Сообщ.
#16
,
|
|
|
|
Цитата Akina @ Да, AVA12 опять правильно нарисовал(а).2 не может быть. Не веришь? нарисуй, вместе похихикаем... Цитата amk @ Бред какой-то. Итак известно, что все прямоугольники выпуклы. Или вы что-то другое хотели написать? И вообще вся проблема не в них, а в 5-угольниках... Невозможно замостить плоскость выпуклыми прямоугольниками конечной площади так, чтобы в каждой вершине сходилось по три фигуры. Добавлено 1. А вот то, что 4-ёхугольниками нельзя я вполне допускаю, но доказательство не шибко тривиальное,однако. 2.Кажется, в детстве в журнале я видел заполнение 5-угольниками, но были ли там только точечные соприкосновения - не помню. Идея такая:взять правильные 5-угольники и зополнить ими НЕ ВСЮ плоскость. А потом гнуть(=менять углы), дабы швы(дыры в плоскости) закрылись. Вот... |
|
Сообщ.
#17
,
|
|
|
|
Ошибся - не четырехугольниками, а пятиугольниками, с условием, что они соприкасаются целиком сторонами.
Добавлено Цитата Славян @ При заполнении дыр местами придется использовать невыпуклые фигуры. И не все дыры можно заполнить пятиугольниками. И наверняка не удастся избежать вершин, в которых сходятся четыре пятиугольника взять правильные 5-угольники и зополнить ими НЕ ВСЮ плоскость. Добавлено Четырехугольниками тоже нельзя замостить. Вообще говоря это возможно только для шестиугольников, для которых решение тривиально. В этом легко убедиться определив среднюю величину внутреннего угла фигуры и среднее число соседних с вершиной фигур: для треугольника это 60 градусов (в каждой вершине сходится в среднем 6 треугольников), для четырехугольника 90 градусов (в каждой вершине сходится в среднем 4 четырехугольника), для шестиугольника 120 градусов (в каждой вершине сходится в среднем 3 шестиугольника), для 5 угольника 108 градусов (в каждой вершине сходится в среднем 360/108 = 3+1/3 пятиугольников, в чем можно убедиться посчитав вершины в замощении домиками, в одном из первых постов, там на одну вершину ранга 4 приходится две ранга 3. Это же относится и к вырожденному замощению, где на одну вершину ранга 2 приходится две вершины ранга 4). Не соблюсти это правило можно только меняя масштаб замощения - увеличивая до бесконечности размер пятиугольника. Если пытаться мостить плоскость семиугольниками - семиугольники наоборот начнут уменьшаться в размерах. |
|
Сообщ.
#18
,
|
|
|
|
Цитата для 5 угольника 108 градусов (в каждой вершине сходится в среднем 360/108 = 3+1/3 пятиугольников А ларчик просто открывался. Если в среднем одна вершина является общей чуть более, чем для 3 фигур, то решить задачу невозможно. |
|
Сообщ.
#19
,
|
|
|
|
Цитата amk @ Хочется нечто большее, чем фраза "наверняка". И наверняка не удастся избежать вершин, в которых... Цитата AVA12 @ Если вы имеете ввиду 4;5 и т.д. кол-во фигур, то да, невозможно. А дробное количество их не может быть в принципе. Задача если и имеет, то токмо целочисленное решение. Так что пока ларчик не открылся.А ларчик просто открывался. Если в среднем одна вершина является общей чуть более, чем для 3 фигур, то решить задачу невозможно. Цитата amk @ Опишите сей момент (желательно с рисуночком) поподробнее, а то не очень понятно, что там происходит, при увеличении масштаба... Не соблюсти это правило можно только меняя масштаб замощения - увеличивая до бесконечности размер пятиугольника. Добавлено Вообще же, amk, ваши рассуждения про "средние величины внутренних углов" выглядят 'тухловато', ибо, объединив три правильных шестиугольника, получим 12-угольник. И ими всё прекрасно "замощается". С выполнением всех условий. Так что "не надо ля"!.. Добавлено Впрочем, я что-то перебрал : можно объединить два 6-угольника, получив 10-угольник. И с ним тоже всё хорошо. Добавлено А если в нём ещё 3 стороны слить в одну, то и с 8-угольниками получается ! |
|
Сообщ.
#20
,
|
|
|
|
Цитата Славян @ Опишите сей момент (желательно с рисуночком) поподробнее, а то не очень понятно, что там происходит, при увеличении масштаба... Цитата Славян @ ваши рассуждения про "средние величины внутренних углов" выглядят 'тухловато', ибо, объединив три правильных шестиугольника, получим 12-угольник. Цитата Славян @ можно объединить два 6-угольника, получив 10-угольник. И? В первом случае средняя величина внутреннего угла 150 градусов - средний ранг вершины получается (на 2 вершины ранга 3 приходится 3 вершины ранга 2) равным 2.4 = 360/150 Во втором средняя величина внутреннего угла 144 градуса - средний ранг вершины (поровну вершин ранга 2 и 3) равен 2.5 = 360/144. Так что твои примеры только подтвердили мои расчеты. Они кстати и не мои вовсе, правило это еще в 19 или даже в 18 веке кто-то вывел. Мог бы не останавливаться - а объединить по 4, 5, 6 шестиугольников, получая фигуры с 14, 16, 18 сторонами, я бы посчитал средние ранги и получил бы дальнейшие подтверждения. Кстати, можешь попробовать разбить свой десятиугольник на пятиугольники (4 штуки, придется добавить 2 внутренние точки, 12-угольник допускает разбиение на 4 и на 6 пятиугольников). Однако от приведенной формулы никуда не денешься - все равно будут появляться вершины ранга 4. Рисунок завтра нарисую, сейчас спать давно пора |
|
Сообщ.
#21
,
|
|
|
|
1.Как там с рисунком, amk?
2. Цитата amk @ Я про то писал, что и 6, и 8-угольниками всё хорошо покрывается, без всяких уменьшений размеров, а вы пишете, что вдруг у 7-угольников такое необходимо произойдёт. Вот этот то момент и непонятен... Если пытаться мостить плоскость семиугольниками - семиугольники наоборот начнут уменьшаться в размерах. |
|
Сообщ.
#22
,
|
|
|
|
Рисунок оказался ненужным - невозможно разместить на плоскости больше 11 пятиугольников так, чтобы они касались друг друга сторонами, и в каждой вершине сходилось три пятиугольника. В результате получается большой пятиугольник вершины которого образуются парами малых прямоугольников. Остается присоединить к ним последний 12-й пятиугольник и получить додекаэдр.
Семиугольниками и более многосторонними полигонами плоскость можно покрыть только допустив касание полигонов более чем одной стороной. Я написал про случай, когда соседние семиугольники касаются друг друга строго одной стороной и в каждой вершине сходится строго три семиугольника |
|
Сообщ.
#23
,
|
|
|
|
Цитата amk @ Собственно, причина истинности этого утверждения мне и непонятна......невозможно разместить на плоскости больше 11 пятиугольников так, чтобы они касались друг друга сторонами, и в каждой вершине сходилось три пятиугольника Цитата amk @ А зачем вы ЭТО написали? В условии нет ни требования про сходимость только трёх фигур, ни про касание строго одной стороной!.. Я написал про случай, когда соседние семиугольники касаются друг друга строго одной стороной и в каждой вершине сходится строго три семиугольника |
|
Сообщ.
#24
,
|
|
|
|
Цитата Славян @ Попробуй, размести больше. Я попробовал разместить, оказалось, что выбора при размещении очередного пятиугольника нет, и всегда получается одно и то же размещение. Вообще, это наверно какой-нибудь теоремой в теории графов или в топологии уже доказано. причина истинности этого утверждения мне и непонятна Цитата Славян @ А варианты изменения условий ты никогда не рассматриваешь? Иногда это позволяет лучше понять основную задачу. В условии нет ни требования |
|
Сообщ.
#25
,
|
|
|
|
Цитата amk @ Я и пытаюсь здесь, вопросом, ваше слово "наверно" раскрыть поподробнее.Вообще, это наверно какой-нибудь теоремой в теории графов или в топологии уже доказано. Цитата amk @ Да,бывает рассматриваю.Пока для этой задачи изменение условий не помогает ничему...А варианты изменения условий ты никогда не рассматриваешь? Иногда это позволяет лучше понять основную задачу. Всё же думаю, что ваше раннее утверждение: Цитата amk @ является ложным. Контрпример, думается, будет полегче, чем случай с 5-угольниками. Но тоже пока не даётся... :-) Если пытаться мостить плоскость семиугольниками - семиугольники наоборот начнут уменьшаться в размерах. |
|
|
Сообщ.
#26
,
|
|
|
Цитата AVA12 @ MWA-HA-HA! При этом вершина правее-ниже отмеченной гарантированно не соответствует требованиям. Не зачтено - уж либо мы всё делаем В РАМКАХ ЗАДАЧИ, либо всё ВНЕ ЗАДАЧИ. |
|
Сообщ.
#27
,
|
|
|
|
Цитата При этом вершина правее-ниже отмеченной гарантированно не соответствует требованиям. Не зачтено - уж либо мы всё делаем В РАМКАХ ЗАДАЧИ, либо всё ВНЕ ЗАДАЧИ. А еще можно нарисовать треугольник с двумя прямыми углами. И доказать, что углы именно прямые. Так что не надо придираться к иллюстрациям. |
1 пользователей читают эту тему (1 гостей и 0 скрытых пользователей)
0 пользователей:
[ Script execution time: 0,3754 ] [ 22 queries used ] [ Generated: 7.07.25, 21:12 GMT ]