пересечение эллипсов , найти точки пересечения

Здравствуйте, просба разшарить задачку.

Есть два эллипса.
Первый с центром в начале координат, а=2, b=4;
Центр второго (0,2), а=3, b=1;

Важен не конечный результат, а последовательность решения.

Есть идея влоб. Умнее пока ничего не придумал.

1. Записываешь уравнения эллипсов.
2. Потом вписываешь их в прямоугольники.
3. Если прямоугольники не пересекаются,
3а. Значит точки пересечения нет
4. Иначе, нахдишь ту, область в которой присутсвуют пересечение( это будет 2 диапазона - один для х другой для у)
5. Если в лоб, то перебираешь все возможные значения х и у с заланной точностью, подставляя их в уравнения, и проверяя, лежат ли эти токи на элипсе.
(если какая то то ка х1 y1 удовлетворяет обоим уравнения, то это решение).
Если не в лоб то нужно как умно сдлать перебор, возможно, используя половинное деление, но тут надо очень думать_)))

Система из нелинейных уравнений решается итерационно. Метод Ньютона Есть нюанс: находит только одно решение, т.е. точку пересечения, но сходится к ближайшему. Поэтому надо взять два начальных приближения.

Внимание ОШИБКА
cx = 1;
cy = 2;
должно бить
cx = 0;
cy = 2;
оставил другим цветом для примера


незачем било создавать несколько тем
пересечение эллипсов
там я ответил как решить в любих параметрах радиуса и координат центра

In[1]:= cx = 1;
cy = 2;
r1x = 2;
r1y = 4;
r2x = 3;
r2y = 1;
 
In[7]:= cx2 = cx*cx;
cy2 = cy*cy;
r1x2 = r1x*r1x;
r1y2 = r1y*r1y;
 r2x2 = r2x*r2x;
r2y2 = r2y*r2y;
RyRx = r2y2/r2x2 - r1y2/r1x2;
 
In[14]:= z4 = -RyRx*RyRx;
 z3 = 4.0*cx*r2y2*RyRx/r2x2;
z2 = -4.0*(cy2*r2x2*r2y2 + cx2*r2y2*r2y2)/(r2x2*r2x2) -
   2.0*RyRx*((cx2/r2x2 - 1.0)*r2y2 - cy2 + r1y2);
z1 = (4.0*cx*r2y2*(cy2*r2x2 + r1y2*r2x2 + (cx2 - r2x2)*r2y2))/(r2x2*
     r2x2);
z0 = 4.0*cy2*r2y2 - (4.0*cx2*cy2*r2y2)/
    r2x2 - ((r1y2 - cy2 + (cx2/r2x2 - 1.0)*r2y2))^2;
 
In[19]:= z4 x^4 + z3 x^3 + z2 x^2 + z1 x + z0 == 0
sl = Solve[{z4 x^4 + z3 x^3 + z2 x^2 + z1 x + z0 == 0}, x]
 
Out[19]= -109.235 + 8.49383 x + 84.5926 x^2 - 1.7284 x^3 - (1225 x^4)/
  81 == 0
 
Out[20]= {{x -> -1.81993}, {x -> -1.55055}, {x -> 1.32623}, {x ->
   1.92996}}

тоесть по формуле которую я написал бил получаєм уравненния
-109.235 + 8.49383 x + 84.5926 x^2 - 1.7284 x^3 - (1225 x^4)/81 == 0

соответственно 4 координати X пересичениє
{x -> -1.81993}
{x -> -1.55055}
{x -> 1.32623}
{x -> 1.92996}
координати Y сам найдеш

илюстрация твоего примера


прикреплю файл с формулой (програма Wolfram Mathematica)

Прикреплённый файлEllipseAndEllipse.rar (31,81 Кбайт, скачиваний: 76)

Сообщение отредактировано: Mishamp - 22.03.11, 20:04

Цитата GrinEd @ 22.03.11, 11:38

Есть идея влоб. Умнее пока ничего не придумал.

4. Иначе, нахдишь ту, область в которой присутсвуют пересечение( это будет 2 диапазона - один для х другой для у)
5. Если в лоб, то перебираешь все возможные значения х и у с заланной точностью, подставляя их в уравнения, и проверяя, лежат ли эти токи на элипсе.
(если какая то то ка х1 y1 удовлетворяет обоим уравнения, то это решение).
Если не в лоб то нужно как умно сдлать перебор, возможно, используя половинное деление, но тут надо очень думать_)))

Ти представляеш что область бесконечна
тоесть тебе уйдет достатточно много времени чтоби найти такие точки, таким сспособом

Добавлено 22.03.11, 15:33

Цитата Аэтерос @ 22.03.11, 12:51

Система из нелинейных уравнений решается итерационно. Метод Ньютона Есть нюанс: находит только одно решение, т.е. точку пересечения, но сходится к ближайшему. Поэтому надо взять два начальных приближения.

тоже незачем итерационие методи
там хоть и не линейное но степень 4, а ето формула Феррари

ой извени центр сместил (1,2)
неувидел
вот исправлен
в етом случаи моя формула превращается в уравненния

In[40]:= z4 x^4 + z3 x^3 + z2 x^2 + z1 x + z0 == 0
sl = Solve[{z4 x^4 + z3 x^3 + z2 x^2 + z1 x + z0 == 0}, x]
 
Out[40]= -105. + 83.7778 x^2 - (1225 x^4)/81 == 0
{{x -> -1.90356}, {x -> -1.38421}, {x -> 1.38421}, {x -> 1.90356}}

уровненния:
-105. + 83.7778 x^2 - (1225 x^4)/81 == 0
легко решить вручну заменой (u = x^2)

корни
{x -> -1.90356}
{x -> -1.38421}
{x -> 1.38421}
{x -> 1.90356}



Прикреплённый файлEllipseAndEllipse.rar (31,4 Кбайт, скачиваний: 70)