аппроксимация экспонентой f(x)=a*exp(b*x)+c

Здравствуйте.
Подскажите пожалуйста каким способом лучше всего произвести аппроксимацию данных экспонентой f(x)=a*exp(b*x)+c.
Исходные данные: набор из 1000 точек с интервалом 50мкс.
Пробовал ввести данные по ссылке http://twtmas.mpei.ac.ru/mas/worksheets/Fit_f_x_a_b_c.mcd).
Брал не все точки, а только 20 с равным интервалом - получилось красиво.
Но какой метод там используется так и не нашел.
Спасибо.

SumX := 0;
SumY := 0;
SumSqrX := 0;
SumXY := 0;

for i := 1 to Nuz do //до число узлов (точек)
begin
SumX := SumX + X[i];
SumY := SumY + ln(Y[i]);
SumSqrX := SumSqrX + Sqr(X[i]);
SumXY := SumXY + X[i]*ln(Y[i]);
end;

b := (Nuz*SumXY-SumX*SumY)/(Nuz*SumSqrX-Sqr(SumX));
a := (SumY-b*SumX)/Nuz;
b1 := b;
a1 := exp(a);

Y_calc := a1*exp(b1*X);//интерполяция

Просто линеаризация
Если коэфф "С" для Вас критично - задавайтесь им предварительно, и вместо y[i] будет y[i]-c или плюс (сами разберетесь...)

Сообщение отредактировано: repz - 17.12.09, 07:33

Просто линеаризацию я уже пробовал. Получается не совсем то что хотелось бы - см. рисунок.

Прикреплённая картинка

Линеаризация - это не аппроксимация линейной функцией

Выложите свои "Точки" (таблично), посмотрим что получается...

Цитата

Линеаризация - это не аппроксимация линейной функцией

Это все понятно. Пробовал сделать аппроксимацию функцией f(x)=a*exp(b*x)+c. Коэффициент с принял за константу, перенес влево, логарифмировал и т.д. и т.п. Тоже самое что вы предлагали. Ваш код и мой дали один и тот же результат (что в принципе логично).

Точки (шаг по X равный):
-0,897
-0,891
-0,876
-0,854
-0,822
-0,795
-0,778
-0,771
-0,766
-0,765
-0,763
-0,762
-0,762
-0,763
-0,76
-0,76
-0,76
-0,76
-0,76
-0,757
-0,757
-0,757
-0,756
-0,754
-0,756
-0,754
-0,754
-0,754
-0,754
-0,753
-0,753
-0,753
-0,751
-0,753
-0,751
-0,75
-0,75
-0,75
-0,75
-0,75
-0,75
-0,75
-0,748
-0,748
-0,748
-0,75
-0,748
-0,747
-0,748
-0,748
-0,745
-0,747
-0,747
-0,747
-0,747
-0,747
-0,744
-0,745
-0,747
-0,744
-0,744
-0,744
-0,744
-0,744
-0,742
-0,742
-0,741
-0,742
-0,742
-0,741
-0,741
-0,742
-0,741
-0,741
-0,741
-0,741
-0,739
-0,739
-0,739
-0,738
-0,739
-0,739
-0,738
-0,738
-0,738
-0,738
-0,736
-0,736
-0,739
-0,738
-0,736
-0,736
-0,738
-0,736
-0,736
-0,736
-0,736
-0,735
-0,735
-0,735
-0,735
-0,735
-0,735
-0,735
-0,733
-0,733
-0,733
-0,733
-0,732
-0,733
-0,732
-0,733
-0,733
-0,733
-0,733
-0,73
-0,732
-0,732
-0,733
-0,733
-0,732
-0,732
-0,73
-0,73
-0,73
-0,73
-0,73
-0,729
-0,729
-0,729
-0,729
-0,73
-0,729
-0,729
-0,729
-0,727
-0,729
-0,729
-0,729
-0,727
-0,727
-0,729
-0,729
-0,729
-0,729
-0,729
-0,729
-0,727
-0,727
-0,727
-0,726
-0,726
-0,726
-0,727
-0,724
-0,726
-0,726
-0,726
-0,726
-0,726
-0,726
-0,726
-0,724
-0,729
-0,724
-0,724
-0,724
-0,723
-0,724
-0,724
-0,724
-0,724
-0,724
-0,724
-0,723
-0,723
-0,723
-0,723
-0,723
-0,721
-0,723
-0,723
-0,723
-0,723
-0,723
-0,723
-0,721
-0,721
-0,723
-0,721
-0,721
-0,721
-0,721
-0,721
-0,721
-0,721
-0,721
-0,718
-0,718
-0,72
-0,72
-0,72
-0,721
-0,72
-0,72
-0,72
-0,718
-0,72
-0,72
-0,717
-0,72
-0,718
-0,721
-0,718
-0,721
-0,72
-0,72
-0,718
-0,718
-0,718
-0,718
-0,717
-0,718
-0,718
-0,717
-0,717
-0,718
-0,718
-0,717
-0,715
-0,717
-0,717
-0,718
-0,717
-0,717
-0,717
-0,715
-0,717
-0,717
-0,717
-0,717
-0,717
-0,715
-0,718
-0,715
-0,715
-0,715
-0,717
-0,715
-0,715
-0,715
-0,715
-0,715
-0,715
-0,715
-0,714
-0,714
-0,717
-0,714
-0,715
-0,714
-0,714
-0,715
-0,714
-0,715
-0,714
-0,714
-0,712
-0,712
-0,714
-0,712
-0,714
-0,712
-0,712
-0,712
-0,714
-0,712
-0,714
-0,712
-0,712
-0,712
-0,712
-0,712
-0,712
-0,712
-0,711
-0,711
-0,712
-0,712
-0,711
-0,711
-0,711
-0,711
-0,709
-0,711
-0,709
-0,709
-0,709
-0,709
-0,711
-0,711
-0,711
-0,709
-0,709
-0,711
-0,709
-0,709
-0,709
-0,708
-0,709
-0,708
-0,709
-0,709
-0,709
-0,709
-0,708
-0,708
-0,709
-0,708
-0,709
-0,708
-0,708
-0,708
-0,708
-0,708
-0,708
-0,708
-0,708
-0,709
-0,708
-0,708
-0,709
-0,708
-0,706
-0,706
-0,706
-0,708
-0,708
-0,705
-0,705
-0,706
-0,706
-0,706
-0,706
-0,708
-0,708
-0,706
-0,706
-0,705
-0,705
-0,708
-0,705
-0,706
-0,705
-0,705
-0,706
-0,706
-0,705
-0,706
-0,706
-0,706
-0,705
-0,705
-0,705
-0,705
-0,703
-0,703
-0,705
-0,705
-0,705
-0,705
-0,705
-0,705
-0,705
-0,705
-0,703
-0,705
-0,705
-0,703
-0,703
-0,703
-0,703
-0,703
-0,702
-0,703
-0,705
-0,703
-0,702
-0,702
-0,703
-0,703
-0,702
-0,7
-0,702
-0,703
-0,703
-0,703
-0,705
-0,702
-0,703
-0,703
-0,703
-0,703
-0,702
-0,702
-0,702
-0,702
-0,702
-0,7
-0,703
-0,7
-0,7
-0,7
-0,7
-0,7
-0,702
-0,702
-0,7
-0,7
-0,7
-0,7
-0,7
-0,7
-0,7
-0,7
-0,7
-0,702
-0,702
-0,699
-0,699
-0,7
-0,699
-0,702
-0,699
-0,7
-0,699
-0,699
-0,697
-0,699
-0,699
-0,7
-0,699
-0,7
-0,699
-0,702
-0,7
-0,699
-0,699
-0,699
-0,699
-0,697
-0,697
-0,699
-0,699
-0,699
-0,697
-0,7
-0,699
-0,699
-0,699
-0,699
-0,699
-0,697
-0,697
-0,697
-0,697
-0,697
-0,697
-0,697
-0,697
-0,697
-0,697
-0,697
-0,697
-0,697
-0,697
-0,697
-0,697
-0,697
-0,696
-0,697
-0,696
-0,696
-0,696
-0,696
-0,696
-0,696
-0,694
-0,694
-0,696
-0,696
-0,696
-0,694
-0,694
-0,693
-0,694
-0,696
-0,694
-0,696
-0,696
-0,696
-0,694
-0,694
-0,694
-0,694
-0,693
-0,693
-0,694
-0,693
-0,694
-0,694
-0,694
-0,694
-0,694
-0,693
-0,694
-0,693
-0,694
-0,693
-0,693
-0,693
-0,693
-0,694
-0,693
-0,693
-0,694
-0,694
-0,693
-0,693
-0,694
-0,693
-0,693
-0,693
-0,693
-0,691
-0,693
-0,691
-0,691
-0,691
-0,691
-0,693
-0,693
-0,691
-0,693
-0,694
-0,693
-0,694
-0,693
-0,691
-0,693
-0,69
-0,69
-0,69
-0,691
-0,691
-0,69
-0,691
-0,691
-0,691
-0,691
-0,691
-0,693
-0,69
-0,69
-0,691
-0,691
-0,691
-0,691
-0,691
-0,691
-0,691
-0,69
-0,691
-0,691
-0,69
-0,691
-0,69
-0,69
-0,69
-0,69
-0,69
-0,69
-0,691
-0,69
-0,69
-0,69
-0,69
-0,69
-0,688
-0,688
-0,69
-0,688
-0,69
-0,688
-0,688
-0,688
-0,688
-0,688
-0,688
-0,688
-0,69
-0,69
-0,69
-0,688
-0,688
-0,688
-0,688
-0,69
-0,688
-0,687
-0,688
-0,688
-0,688
-0,688
-0,688
-0,688
-0,69
-0,688
-0,688
-0,687
-0,688
-0,687
-0,687
-0,687
-0,687
-0,687
-0,687
-0,687
-0,688
-0,687
-0,687
-0,687
-0,687
-0,688
-0,687
-0,687
-0,687
-0,685
-0,685
-0,687
-0,687
-0,688
-0,687
-0,688
-0,687
-0,687
-0,687
-0,687
-0,687
-0,687
-0,685
-0,687
-0,687
-0,687
-0,687
-0,687
-0,685
-0,687
-0,687
-0,685
-0,687
-0,685
-0,687
-0,687
-0,685
-0,685
-0,685
-0,687
-0,685
-0,685
-0,685
-0,685
-0,685
-0,685
-0,685
-0,685
-0,684
-0,685
-0,684
-0,685
-0,684
-0,684
-0,684
-0,685
-0,684
-0,684
-0,684
-0,684
-0,685
-0,684
-0,684
-0,682
-0,682
-0,684
-0,682
-0,682
-0,684
-0,682
-0,682
-0,684
-0,684
-0,684
-0,684
-0,682
-0,682
-0,68
-0,682
-0,682
-0,682
-0,682
-0,682
-0,682
-0,682
-0,685
-0,682
-0,682
-0,682
-0,682
-0,68
-0,682
-0,68
-0,682
-0,682
-0,682
-0,682
-0,68
-0,682
-0,684
-0,682
-0,682
-0,682
-0,682
-0,68
-0,68
-0,68
-0,682
-0,68
-0,679
-0,68
-0,68
-0,68
-0,679
-0,68
-0,68
-0,68
-0,68
-0,68
-0,682
-0,68
-0,679
-0,682
-0,68
-0,68
-0,68
-0,682
-0,68
-0,68
-0,68
-0,68
-0,682
-0,68
-0,677
-0,68
-0,682
-0,679
-0,679
-0,68
-0,679
-0,679
-0,68
-0,68
-0,68
-0,679
-0,679
-0,679
-0,679
-0,68
-0,68
-0,679
-0,679
-0,679
-0,68
-0,679
-0,679
-0,677
-0,679
-0,679
-0,679
-0,679
-0,679
-0,679
-0,679
-0,677
-0,679
-0,679
-0,677
-0,676
-0,679
-0,677
-0,677
-0,677
-0,679
-0,679
-0,677
-0,677
-0,677
-0,677
-0,676
-0,677
-0,677
-0,676
-0,677
-0,677
-0,677
-0,677
-0,677
-0,677
-0,677
-0,677
-0,677
-0,677
-0,677
-0,677
-0,677
-0,677
-0,677
-0,677
-0,677
-0,677
-0,677
-0,679
-0,676
-0,676
-0,676
-0,676
-0,677
-0,676
-0,676
-0,676
-0,674
-0,677
-0,677
-0,676
-0,676
-0,679
-0,676
-0,676
-0,677
-0,676
-0,676
-0,677
-0,676
-0,677
-0,677
-0,676
-0,674
-0,676
-0,676
-0,676
-0,676
-0,676
-0,676
-0,676
-0,676
-0,676
-0,676
-0,674
-0,676
-0,676
-0,676
-0,676
-0,674
-0,674
-0,676
-0,676
-0,674
-0,674
-0,673
-0,671
-0,673
-0,674
-0,674
-0,674
-0,673
-0,674
-0,674
-0,674
-0,673
-0,674
-0,674
-0,673
-0,674
-0,673
-0,673
-0,673
-0,673
-0,674
-0,674
-0,673
-0,674
-0,674
-0,673
-0,673
-0,674
-0,673
-0,673
-0,673
-0,673
-0,673
-0,673
-0,673
-0,673
-0,673
-0,673
-0,673
-0,674
-0,673
-0,673
-0,673
-0,673
-0,673
-0,673
-0,673
-0,671
-0,673
-0,67
-0,671
-0,671
-0,673
-0,671
-0,671
-0,673
-0,673
-0,671
-0,671
-0,671
-0,671
-0,671
-0,67
-0,673
-0,671
-0,671
-0,671
-0,671
-0,671
-0,671
-0,671
-0,671
-0,671
-0,67
-0,671
-0,67
-0,671
-0,671
-0,67
-0,67
-0,671
-0,671
-0,671
-0,671
-0,671
-0,671
-0,671
-0,671
-0,67
-0,671
-0,671
-0,671
-0,671
-0,671
-0,673
-0,671
-0,67
-0,67
-0,67
-0,671
-0,67
-0,67
-0,67
-0,671
-0,67
-0,67
-0,671
-0,67
-0,671
Прошу прощения что не в файле. Почему то не получилось прикрепить *.txt.

Сообщение отредактировано: Вованчик - 17.12.09, 08:56

Ну ЭТО больше похоже на логарифмическую.....

...или функция аппроксимации предопределена???

Здесь уравнение Вагнера(не композитор)почти сказочно ложится на эту кучу....
Прикреплённый файлВованчик.rar (37.84 Кбайт, скачиваний: 261)

вообще необходимый мне процесс сравнивают с разрядом конденсатора, поэтому функцией выбрали экспоненту.
и результат расчета по ссылке http://twtmas.mpei.ac.ru/mas/worksheets/Fit_f_x_a_b_c.mcd с вводом экспоненциальной функции дал очень хороший результат. Пытаюсь сейчас сделать картинку как это выглядит, но сервер глючит. Как только получиться выложу.

и еще - точки которые я выложил можно сказать идеальный вариант сигнала. бывает и хуже - например см. файл.

Прикреплённая картинка

Другая экспоненциальная....

Y=a+exp(b/X) + C

... и тогда почти похоже на правду...

for i := 1 to Nuz do
begin
SumX := SumX + 1/X[i];
SumY := SumY + ln(Y[i]);
SumSqrX := SumSqrX + Sqr(1/X[i]);
SumXY := SumXY + 1/X[i]*ln(Y[i]);
end;

b := (Nuz*SumXY-SumX*SumY)/(Nuz*SumSqrX-Sqr(SumX));
a := (SumY-b*SumX)/Nuz;
b1 := b;
a1 := exp(a);

Y_calc := a1*exp(b1/X);
Прикреплённый файлВованчик.rar (45.96 Кбайт, скачиваний: 293)

Степенная Y=a*(X^b)



for i := 1 to Nuz do
begin
SumX := SumX + log10(X[i]);
SumY := SumY + log10(Y[i]);
SumSqrX := SumSqrX + Sqr(log10(X[i]));
SumXY := SumXY + log10(X[i])*log10(Y[i]);
end;

b := (Nuz*SumXY-SumX*SumY)/(Nuz*SumSqrX-Sqr(SumX));
a := (SumY-b*SumX)/Nuz;
b1 := b;
a1 := Power(10,a);

Y_calc := a1*Power(X,b1);

Прикреплённая картинка

за идею 1/X огромный респект...
попробовал разные исходные данные - вроде как все устраивает

а есть ли способы сделать аппроксимацию не линейной функцией?

Конечно есть...

а какой изволите???????

Цитата repz @ 17.12.09, 13:30

а какой изволите???????

вот в этом то весь и вопрос...

вот например касаясь моего вопроса ранее:
допустим один набор данных хорошо аппроксимируется функцией f(x)=a*exp(b*x), а второй f(x)=a*exp(b/x).
как поступать в таком случае? каким единым методом обрабатывать эти два набора чтобы получить что-нибудь реальное.

Сообщение отредактировано: Вованчик - 17.12.09, 13:38

А вот для этого существует целая "туча" методов оценки статистик...

Мелкие детали (и не очень) лучше черпать из литературы, например Кобзарь "Прикладная математическая статистика"

Для Вашего случая - определитесь с неоходимым набором функций. Их будет всего-то штук несколько, а если и много - ничего страшного.

Критерий оценки оптимальной - детерминация и остаточная дисперсия (в самом босятском раскладе). Если у Вас это диссертация или научный труд - придется отнестись к делу серьезно и тему освоить... (и не доводить дело до заноса тяжелых хвостов)

Ну а по босятски - где детерминация ближе к единице, а остаточная дисперсия стремится к нулю - та функция и Ваша. Алгоритм реализации проще выкройки семейных трусов...