На главную
ПРАВИЛА FAQ Помощь Участники Календарь Избранное RSS
Дорогие друзья! Поздравляем вас с днем Победы!
msm.ru
! Правила раздела Наука и Техника.
В этом разделе обсуждается наука, техническая и гуманитарная, а также философия и другие интересные вещи :)
Пожалуйста, примите во внимание следующее:

1. Приветствуются разные темы. Например, если Вы хотите рассказать что-нибудь интересное из области естественных или гуманитарных наук, добро пожаловать. Но не надо публиковать не подкрепленных фактами опровержений современной науке. Сначала попробуйте найти ошибку у себя - скорее всего она именно в Ваших рассуждениях.
2. Пожалуйста, не путайте философию и вымысел. В этом разделе не обсуждается мистика, магия и прочие темы подобного рода.
3. Вы можете выражать аргументированную критику по любому вопросу. Но писать, "это глупость" или "современные ученые - дураки" не надо. Просто потому, что в этом случае Вы рискуете получить наказание от модератора.
4. Если Вы нашли на просторах Интернета интересную новость из области науки, пожалуйста, опубликуйте ее в специальном разделе, и не забудьте указать источник.

Приятного общения!
Модераторы: Братец Лис, B.V.
Страницы: (35) « Первая ... 32 33 [34] 35   ( Перейти к последнему сообщению )  
> Самая важная круть в математике..., ...да и в жизни тоже...
    Цитата Vesper @
    Нет, чтобы задать точку на [0, 1], достаточно счетного количества разрядов.
    Троичная (та любая позиционная с натуральным основанием) система счисления обеспечивает три (ну или сколько там... гуголплекс для гуголплексовой дроби :scratch: ) возможных значения каждого разряда. Это множество конечно. Определение дроби через отрицательные целые степени основания системы счисления имеет мощность не более чем счётную. Известна теорема о счётности любого объединения счётного количества счётных множеств. См, например, тут (Теорема 1) Вывод: всем возможным троичным дробям может быть сопоставлено лишь счётное количество точек отрезка [0, 1]. Точек же континуум. :-? Уже говорил, что если бы с континуальным характером множества действительных чисел было всё так просто, математика не пребывала бы в ступоре около 100 лет, с момента, когда внезапно выяснилось, что (на тот момент) она была неспособна описать базовый предмет математики — число.

    Добавлено
    Цитата Vesper @
    А что не так с непрерывностью? Вроде как она вполне себе следует из определения каждой функции, значение которой меняется не более чем в n-м разряде при изменении аргумента не более чем в 2*n-м разряде. Вполне себе вписыввается в определение непрерывности.
    n-ый разряд находится на счётном расстоянии от старшего разряда мантиссы. Нельзя применять методы вне пределов их формальной области определения. Метод мат.индукции по его определению ограничивается множествами с мощностью не более ℕ. Вывод: нельзя применять мат.индукцию на несчётных множествах: на позиции ѡ+1 нашего троичного числа он ничего не гарантирует.
    Непрерывность – это аксиоматическое свойство множества действительных чисел. Из этого следует возможность быть непрерывными также и функциям (которые суть общепринятое упрощённое название термина функции из ТМ как отображения ℝ→ℝ). Но непрерывность лишь возможна, она не гарантируется, и каждую функцию на непрерывность надо исследовать.
    Сообщение отредактировано: Qraizer -
      Цитата Qraizer @
      Определение дроби через отрицательные целые степени основания системы счисления имеет мощность не более чем счётную.

      Чушь. Если дроби у тебя бесконечные (а речь сейчас идёт именно о таких), то это множество несчётно.

      Цитата Qraizer @
      Уже говорил, что если бы с континуальным характером множества действительных чисел было всё так просто, математика не пребывала бы в ступоре около 100 лет

      Вообще-то там и правда всё просто
      Цитата
      Конти́нуум в теории множеств — мощность (или кардинальное число) множества всех вещественных чисел.[1]
        Цитата Qraizer @
        Определение дроби через отрицательные целые степени основания системы счисления имеет мощность не более чем счётную

        С чего это вдруг? Добавление каждого разряда к дроби увеличивает число доступных дробей в (основание) раз, минимум 2, как следствие, мощность множества растет экспоненциально от количества разрядов. При переходе к пределу получаем вполне себе 2^inf==c. Ещё - множество дробей с основанием 10 (в доказательстве использовалось, что значение основания 4 или выше) несчетное, а задание дроби с любым основанием принципиально не отличается от десятичного, т.е. множество дробей с любым осноаанием несчетное.
          На это я уже отвечал, Vesper. Ты ссылаешься на недоказанную и более того, недоказуемую, континуум-гипотезу. Если б это было так просто... устал это впечатывать, надо шаблон завести... и гипотезу б уже доказали, и множество проблем с ненаивными ТМ порешали. Но увы, это невозможно. Хотя бы потому, что матан растёт из ТМ, а не наоборот.
            Цитата Qraizer @
            Ты ссылаешься на недоказанную и более того, недоказуемую, континуум-гипотезу.

            Даже если предполагать, что континуум гипотеза неверна, то всё равно множество всех дробей не становится счётным.
            Вообще, давай так. Кривая Пеано объект достаточно хорошо изученный. Наверняка есть статья, где бы рассматривалась связь факта прохождения кривой через каждую точку квадрата в зависимости от базиса аксиом. Найди подобную статью.
            Сообщение отредактировано: OpenGL -
              Qraizer, ну, в первой части я в самом деле сослался на гипотезу континуума. Но доказательство из второй части её не требует - там строился элемент множества (0,1), по определению не равный ни одному элементу последовательности, предполагаемо содержащей все элементы из (0,1).
                Цитата OpenGL @
                Кривая Пеано объект достаточно хорошо изученный.
                OpenGL, давай сначала обговорим терминологию тогда. Кривая Пеано – это что? Семейство кривых, удовлетворяющих методике, впервые описанной Пеано или-таки конкретный пример кривой, построенной самим Пеано по его же методике?

                Добавлено
                Vesper, так я ни не говорил, что доказательно неверно, я сказал лишь, что оно для меня неочевидно. Просто потому, что для тебя эта очевидность может оказаться заблуждением. Предупредил о возможности и обосновал свои сомнения. Так-то я просто не думал плотно над схемой рассуждений. Мне тупо некогда, сам видишь, насколько часто и надолго я на форум захожу. И эта канитель уже с полгода, и конца пока не видно.
                  А гори оно. Сегодня понедельник, завтра вторая прививка, погода хреновая. Пару дней потерпит. Давайте я приложу сюда основы, на которые уже неоднократно ссылался, коли нет желания самим штудировать базовые основания известных нам теорий. Сразу предупреждаю, что они нестрогие, строгих я не вспомню, и там много формул, не накопируешься. Их и так будет, сколько-то там. Но суть будет понятна, надеюсь.
                  Что известно о действительных числах из их определения? Что они являются элементами упорядоченного непрерывного множества. В аксиоматике там много пунктов, но пока этих двух свойств – упорядоченности и непрерывности – достаточно. Прежде чем учиться с ними что-то делать, их надо уметь обозначать. Ну, некоторые мы умеем, даже имена выдали для удобства. Типа там "отношение длины окружности к диаметру", например. Но вопрос стоит в общем, их надо уметь обозначать все. Любые. Когда внезапно выяснилось, что их множество несчётно, это оказалось не так просто, ибо любые доступные нам, человекам, методики обозначений упираются в счётность наших методов описания сущностей. Ну действительно, наши алфавиты конечны, комбинируя элементы алфавитов в термины, термины в понятия и понятия в описания мы никогда не превзойдём первый недостижимый ординал, как бы не старались. К конце концов методика, которая-таки сработала, была выработана, и основывается она не на методике обозначения чисел, а на описании построения такой методики.
                  Основой является тот факт, что описать множество целых чисел возможно, и это несложная процедура. Натуральные определяются конечными ординалами, в пределе ω0, целые получаются добавлением нуля и определением атрибута знака, после чего между целыми и натуральными известной процедурой (знакопеременного) пересчёта устанавливается однозначное соответствие, и в конце определяется отношение порядка во множестве целых с учётом их знака. Ну и нуля, естественно. Затем можно определить метод обозначения целых, нужные операции на множестве целых и вывести остальные важные свойства. Далее методика опирается уже на это всё про целые и сосредотачивается на множестве действительных чисел.
                  Множество действительных чисел R разбивается на счётное количество непересекающихся подмножеств, и каждому из них ставится в соответствие некое целое число. Разбиение не произвольно, оно должно удовлетворять следующему правилу: если некоторому подмножеству Rz поставлено в соответствие целое z, то все элементы Rz должны быть "больше" Rz-1 и "меньше" Rz+1, где Rz-1 и Rz+1 являются подмножествами, которым сопоставлены целые z-1 и z+1 соответственно, а термины "больше" и "меньше" определяются отношением порядка в R. Т.е. формально: ∀x∈Rz : sup(Rz-1) < x < inf(Rz+1). При этом (∀x∈Z : Rx = R) ⋀ (∀x∈Z, ∀y∈Z, x!=y : RxRy = ∅). Каждое такое подмножество Rz обозначается просто z, что возможно всегда, благодаря однозначному отображению Rz в Z, и такое отображение всегда однозначно, исходя из свойств целых.
                  Далее для каждого подмножества Rz выполняется следующее разбиение:
                  • подмножество Rz делится на конечное n, почему бы и не 10, количество подмножеств Rza1, где a1∈{0...n-1};
                  • каждому подмножеству Rza1 ставятся в соответствие целые в диапазоне от 0 до n-1, в примере выше это от 0 до 9;
                  • разбиение не произвольно, оно тоже должно удовлетворять похожему соотношению: (∀a1∈{1...n-2} ⋀ ∀x∈Rza1): sup(Rza1-1) < x < inf(Rza1+1)) ⋀ (∀x∈Rz0: sup(Rz-1) < x < inf(Rz1)) ⋀ (∀x∈Rzn-1: sup(Rzn-2) < x < inf(Rz+1));
                  • при этом по-прежнему ∀x∈Z: ((∀a1∈{0...n-1} : Rxa1 = Rx) ⋀ (∀a1∈{0...n-1}, ∀a'1∈{0...n-1}, a1 != a'1 : Rxa1Rxa'1 = ∅));
                  • для всех Rz выбранное n одно и то же; ну, т.е., если 10, значит везде 10.
                  Полученные т.о. подмножества Rza1 обозначаются парой z и a1, но т.к. a1 являются подмножеством Z, и z тоже являются элементами Z, между z и a1 во избежание путаницы ставится разделитель. Например, запятая: z,a1. Согласно тем же принципам, такое сопоставление всегда возможно и всегда однозначно.
                  Далее для каждого подмножества Rza1 выполняется разбиение по тем же правилам с получением конечного количества подмножеств Rza1a2 с тем же n, для каждого из которых справедливы те же условия с точностью до замены роли субиндекса a1 на a2 и супериндекса z на a1. Понятно, что каждому такому субподмножеству ставится в соответствие тройка z, a1 и a2, и обозначается z,a1a2, причём никаких разделителей уже не нужно, т.к. нет путаницы.
                  Процесс можно продолжать неограниченно в связи с непрерывностью множества действительных чисел, получая всё новые и новые ak. В пределе, исходя из принципа непрерывности по Кантору, подобный подход всегда позволит определить любой элемент множества действительных чисел, и каждому такому обозначению будет соответствовать ровно один, уникальный для этого обозначения, элемент. См., например, лемму о вложенных отрезках.

                  Продолжение следует.
                  Сообщение отредактировано: Qraizer -
                    Продолжение.

                    Ну и как бы вот. Обозначение любого действительного числа можно будет построить, если возникнет необходимость. Остался только вопрос: что же это такое, если не десятичная дробь. Это хороший вопрос, потому что это – не десятичная дробь. Описанная методика построения обозначения не имеет ничего общего с понятием десятичной дроби, она основывается на предельном делении континуального множества на неконтинуальные подмножества, и внешнее сходство ровным счётом ничего не значит. Как оно ничего не значит, к примеру, в обозначении комплексных чисел a+bi, которое отнюдь не означает сумму двух действительных, одно из которых предварительно домножено на мнимую единицу. То, что эту запись можно рассматривать и так тоже, является лишь следствием свойств арифметических операций, определённых на поле комплексных чисел, но никак не определением комплексного числа.
                    Замечу ещё, что описанная методика никак не описывает границы подмножеств, она лишь описывает взаимные соотношения между соседними подмножествами. Она даже не требует равномерности разбиения. Т.е. можно представить себе например, такое отображение множества действительных чисел на числовую ось:
                    ... ______-3____________-2____-1___0______1___1.1________1.2_________1.3_...__1.9_2_______3_3.1_3.2____3.3____________3.4_..._3.8_3.9___________4_____ ...
                    и оно будет удовлетворять приведённым выше правилам. Причём если немного подумать, то становится ясно, что как именно раставлять границы подмножества, совершенно неважно, и это, с одной стороны, даёт возможность не закладывать никаких лишних зависимостей в определения и взаимоотношения, с другой, в виду эквивалентности любых таких разбиений, позволяет нам выбрать любое удобное. Вот мы и выбрали равномерное, оно красивое и просто удобное:
                    ... ___-3__________-2__________-1__________0__________1_1.1_1.1_..._1.8_1.9_2__________3__________4__...
                    И только после того, как мы научились обозначать объекты нашего изучения, можно перейти к определению операций над вещественными числами. Отобразить аксиоматические + и ⋅ и ввести обратные им как определённые неким образом через операции над множествами. Исследовать и вывести правила отображения результатов этих операций через отображения их операндов. Со временем дойти до определения десятичных дробей. И только сейчас прийти к выводу, что эти самые десятичные дроби, оказывается, хорошо аппроксимируют обозначения. Но хорошо не значит эквивалентно, ибо в определении десятичных дробей присутствуют термины, не отображаемые на континуальные характеристики обозначений действительных. Т.е. любая десятичная дробь суть обозначение действительного числа, но не каждое обозначение действительного числа суть десятичная дробь, а только лишь то, которое не потребует более чем счётного количества элементов десятичной дроби.
                    Также отмечу, что в методике присутствует предельный переход, но нет индукции. Это тоже важный момент в противовес к определению десятичных дробей. Ну и вопрос "является ли континуум булеаном минимального бесконечного счётного множества" тут никоим образом не фигурирует, так что и пофик в итоге. На методику в частности и на описание свойств множества действительных в общем это никак не влияет. Да, мы знаем, что действительных больше ℵ0, но описывается ли их количество конкретно ℵ1, мы не знаем. Не исключено, что это будет аж какое-нибудь ℵω. Мы знаем, что булеан множества, имеющего мощность ℵ0, является классом с мощностью ℵ1 и что это следующее по мощности множество, но хватит ли его для перенумерации континуума, неизвестно.
                    Зато этого более чем достаточно, чтобы методами ТМ заложить базу для матана, который оперирует таким свойством действительных, как непрерывность. Неиндукционный предельный переход это позволяет. И для геометрии аналогично, притом, что ей мало просто действительных, ей требуется их несколько, по штуке на размерность. И даже для топологии. Обозначения координат в них легко обобщаются. Просто как объединение множеств нескольких действительных, над элементами которых легко и просто выполняются всё те же операции: с селекцией по множествам для совсем простых соотношений и по чуть более сложным, описываемых в свойствах метрики, правилам на их стыке. А для топологии даже этого не надо, достаточно иметь под рукой формализм заданной метрики, что затем естественным образом параметризирует систему координат в лице тензора. Правда, от этого точно не легче, а более чем наоборот.
                    Но вот с фракталами нужно быть осторожными, потому как они живут в формализмах, зачастую не описываемых простым объединением континуальных множеств. Наивный подход требует по каждому множеству брать сечения, часто с замысловатыми законами отбора, причём множества нередко перестают быть всюду непрерывными. В итоге вся методика перестаёт релевантно отражать взаимосвязи между сущностями, т.к. нарушены её устои. И уж геометрия тут точно не поможет, она не предоставляет операций для модификации степеней свободы своих объектов, и методика описания её объектов не умеет обозначать кусочно-непрерывные элементы. Фракталы лежат вне формализма геометрии. Если честно, я вообще не знаю никаких способов, кроме наивных, но знаю, что наивные применяются только в простейших случаях. Могу лишь предположить, что там царствуют дифферинтегралы.
                    И за матан. Наивно распространять свойства вещественных, которые отображаются на числовую ось и которые следуют из их непрерывности, на функцию, которая недифференцируема в каждой точке и отображается на плоскость. Матан не работает в условиях, когда нарушается его инвариантная база: непрерывность. Только доказав непрерывность функции на отрезке/интервале, можно что-то там сделать конкретно на этом отрезке/интервале. Иначе "лыко да мочало – начинай сначала" с истоков, с обоснования формализма матана. И хорошо, если у тебя таких отрезков/интервалов... меньше континуума. С плоскостью умеет работать комплексный анализ, но тогда и начинать надо с него, а не с вещественного отрезка, внезапно в конце цепочки рассуждений преобразующегося в комплексный квадрат.

                    Фух. Надеюсь, нигде не напортачил. Звиняйте, ежели чё, тут запросто было где.
                    Сообщение отредактировано: Qraizer -
                      Я это всё знаю прекрасно :-? Неясно, какое всё это имеет отношение к предмету обсуждения. Непрерывность кривой Пеано доказана много раз, так что этот вопрос смысла нет обсуждать. Если считаешь, что эта непрерывность, или факт прохода кривой через каждую точку квадрата зависит от континуум гипотезы, то я уже говорил, что меня устроит - статья в математическом журнале об этом, а не твои пространные рассуждения.

                      Цитата Qraizer @
                      OpenGL, давай сначала обговорим терминологию тогда. Кривая Пеано – это что? Семейство кривых, удовлетворяющих методике, впервые описанной Пеано или-таки конкретный пример кривой, построенной самим Пеано по его же методике?

                      А какая разница? Всё сказанное мной ранее будет применимо как к отдельной кривой, так и ко всему семейству. Хочешь - рассмотри конкретно кривую Пеано, хочешь - кривую Гильберта, а можешь вообще что-нибудь своё изобрести и его свойства рассматривать. Если тебе принципиальна конкретная кривая, то ок, фиг с тобой, пусть будет конкретно кривая Пеано . Встречный вопрос - что это уточнение меняет, если ты считаешь, что это надо "сначала обговорить"?
                        Цитата Qraizer @
                        я сказал лишь, что оно для меня неочевидно

                        Ну, я его и не привел. Там было примерно так (пишу по памяти, первый курс матана был очень давно :) ):
                        Пусть таки множество чисел (0,1) счетно, тогда существует последовательность {x[n]}, пересчитывающая числа. Каждое число с точностью до (9) и (0) представляется единственной последовательностью (десятичных) цифр, значит, у каждого числа определена каждая цифра, разве что число представляется конечной десятичной дробью, в этом случае таких последовательностей две, для определенности в таком случае берем последовательность с девятками. Далее - строим число y такое, что:
                        - перед запятой стоит 0
                        - n-я цифра после запятой не равна n-й цифре x[n], нулю или девяти.
                        Получаем, что построенное число y принадлежит (0,1) и не равно ни одному числу из {x[n]} - от противного, наше предположение о том, что множество чисел (0,1) счетное, неверно. ЧТД.
                          OpenGL, мне тебе снова Вики процитировать? Почитай английскую статью, там разъяснено не тезисно, как в русской, но в русской зато указаны разницы между свойствами кривых Пеано и Гильберта. Итог в обоих статьях одинаков: чего-то мы обязательно лишаемся. Либо биекции, либо полного заполнения, либо непрерывности.

                          Добавлено
                          Vesper, ну это известный диагональный метод. Он показывает ровно то, что уже неоднократно высказывалось: для обозначения всех действительных чисел счётного количества цифр мантиссы недостаточно. Как это далее интерпретировать, уже неважно.
                          Тут главное другое. Важно понимать разницу между предельным переходом, который на непрерывном множестве не страдает границами применимости, и мат.индукцией, которая на континуальных множествах не работает. Матан основан на непрерывности, мат.индукция на бесконечности натуральных, и вот на последних нередко по невнимательности можно попасть на силлогизм. В частности, пытаясь доказать плотное заполнение квадрата кривой Пеано, рассматривая итерационный процесс её построения: рассматривая эфемерный N-ый шаг, переходя затем к N+1ому и применяя мат.индукцию, мы слишком рано заканчиваем "доказательство", т.к. изломили кривую ещё далеко не во всех точках. Нужно либо использовать неиндукционный подход, либо использовать трансфинитную индукцию, а это уже не очень очевидная вещь по сравнению с мат.индукцией, т.к. требует навыков работы с неконечными ординалами, и там далеко не такая простая арифметика.

                          Добавлено
                          Кстати, в формулах я-таки налажал. Там из рассмотрения выпадают границы подмножеств. Нужно договориться, к каким подмножествам относить числа на границе между Rz и Rz+1. Нам привычнее к Rz+1, и тогда заменить < на ≤ в сравнениях с sup(). И аналогично с вложенными подмножествами.
                          Сообщение отредактировано: Qraizer -
                            Цитата Qraizer @
                            Либо биекции, либо полного заполнения, либо непрерывности.
                            Так биекция нам и не нужна, тьфу на неё. Достаточно сюръекции. ;)
                              Цитата Qraizer @
                              Либо биекции

                              Шо? Вообще-то непрерывной биекции из отрезка в квадрат не существует, я изначально говорил, что не взаимно однозначное соответствие получается.

                              Добавлено
                              Цитата Qraizer @
                              Он показывает ровно то, что уже неоднократно высказывалось: для обозначения всех действительных чисел счётного количества цифр мантиссы недостаточно.

                              Нет, он показывает не это.

                              Цитата Qraizer @
                              В частности, пытаясь доказать плотное заполнение квадрата кривой Пеано, рассматривая итерационный процесс её построения: рассматривая эфемерный N-ый шаг, переходя затем к N+1ому и применяя мат.индукцию, мы слишком рано заканчиваем "доказательство", т.к. изломили кривую ещё далеко не во всех точках.

                              Может ты уже прочитаешь, как именно строится кривая Пеано? Последовательность кривых, равно как и их предел, нужны только для наглядности, в реальности же это просто сходящаяся последовательность непрерывных функций, предел которой совершенно точно пройдёт через каждую точку квадрата.
                                Цитата OpenGL @
                                Шо? Вообще-то непрерывной биекции из отрезка в квадрат не существует, я изначально говорил, что не взаимно однозначное соответствие получается.
                                А я с самого начала говорил, что без биекции в существовании такой кривой нет смысла, потому что в существовании таких кривых никто и не сомневался. И что если биекцию вырезать из желаемых атрибутов, то разговор тупо ни о чём, потому как в их существовании теряется весь смысл, они перестают играть ту роль, ради которых их хотят.
                                1 пользователей читают эту тему (1 гостей и 0 скрытых пользователей)
                                0 пользователей:
                                Страницы: (35) « Первая ... 32 33 [34] 35 


                                Рейтинг@Mail.ru
                                [ Script execution time: 0,0905 ]   [ 14 queries used ]   [ Generated: 9.05.21, 08:31 GMT ]