Уравнение плоскости

Столкнулся я тут с такими тремя геометрическими задачами. И никак не могу решить, на плоскости все просто, а в объеме фигня какая то.
Короче есть три точки: N(x₁; y₁; z₁), M(x₂; y₂; z₂), O(x₃; y₃; z₃).
Первая задача: найти уравнение плоскости перпендикулярной отрезку ON и проходящей через точку O.
Вторая задача: найти угол MON.
Третья задача: найти угол между отрезками NO и OM.
Поясню, вторая и третья задачи отличаются тем, что во второй угол изменяется от 0 до 180 градусов, а в третей от 0 до 90 градусов.
Есть еще четвертая задачка: определить по одну ли сторону от плоскости, найденной в первой задаче, лежат точки N и M. Но если решить первую, то это элементарно.

P.S. Пространство трехмерное.

Информация к размышлению:
если уравнение плоскости записано в виде
a*x+b*y+c*z+d=0, то вектор (a,b,c) - нормаль к ней
по углам- скалярное произведение векторов

уравнение плоскости

2 PropellerMan
Что-то я не понял, причем тут матрица?
Как из нее получить уравнение a*x+b*y+c*z+d=0 ?
Определитель (как жалко, что я не знаю, что это такое) посчитать что-ли?

надо расписать этот определитель в обычное уравнение. см линейную алгебру.

Цитата PropellerMan, 26.03.03, 16:50:45

уравнение плоскости

насколько я понимаю, приведённое уравнение кубическое, чего не может быть.

уравнение плоскости выглядит так:

a*x+b*y+c*z+d=0

соответственно наша задача состоит в нахождении коэффициентов. для этого составляем систему:

a*x0+b*y0+c*z0=-d
a*x1+b*y1+c*z1=-d
a*x2+b*y2+c*z2=-d

в результате мы получим 4 выражения, в которых одним из множителей будет произвольная постоянная(скорее всего d, но в зависимости от пути решения может быть что-то ещё). для получения определённых значений надо приравнять её какому-либо числу, например 1.

Сообщение отредактировано: wormball - 27.03.03, 15:01

никакого кубического уравнения нет.
ЗЫ. блин, ну откройте учебник по линейке, там все расписано!!!

a=(y1-y0)(z2-z0)-(z1-z0)(y2-y0)
b=(z1-z0)(x2-x0)-(x1-x0)(z2-z0)
c=(x1-x0)(y2-y0)-(y1-y0)(x2-x0)
d=-a*x0-b*y0-c*z0

ЗЫЫ. d нельзя приравнять к 1, а вдруг плоскость проходит через начало координат??? Можно рассмотреть частные случаи, но это уже гемморой.

Сообщение отредактировано: PropellerMan - 27.03.03, 15:33

Ладно, с плоскостью вроде как разобрались....
Ну а как быть с углами?

cos(MON)=[(x3-x1)*(x3-x2)+(y3-y1)*(y3-y2)+(z3-z1)*(z3-z2)]/[|MO|*|ON|]

Цитата MBo, 26.03.03, 16:45:39

Информация к размышлению:
если уравнение плоскости записано в виде
a*x+b*y+c*z+d=0, то вектор (a,b,c) - нормаль к ней
по углам- скалярное произведение векторов

Да-а, MBo,  -  размышлять народу, видать, не хочется:
уравнение плоскости перпендикулярной отрезку ON и проходящей через точку O.
N(x1; y1; z1), O(x3; y3; z3) суть a*x+b*y+c*z+d=0, где
a=x1-x3
b=y1-y3
c=z1-z3
d=-a*x3-b*y3-c*z3