На главную
ПРАВИЛА FAQ Помощь Участники Календарь Избранное DigiMania RSS
msm.ru
! Оставь надежду всяк сюда входящий
1) На раздел распространяются все правила форума.
2) Ответы на головоломки необходимо давать только в теге SPOILER. Сообщения в обход этого правила будут удаляться. Постоянное
нарушение данного пункта правил, повлечет за собой наказание.
3) Автор темы должен указать, известно ли ему решения задачи и сроки в которые он опубликует решение.Рекомендуется вести список отгадавших в первом сообщении.
4) При создании новой темы, в описании или в самом названии четко укажите разновидность задачи.
5) Полная версия правил раздела, находится в теме правила раздела.
Модераторы: Братец Лис
Страницы: (33) « Первая ... 30 31 [32] 33   ( Перейти к последнему сообщению )  
> Интересные задачки
    Славян, странно у тебя на картинке равносторонние треугольники выглядят.

    Добавлено
    Но по крайней мере ясно, что решение существует. Вообще можно доказывать разными способами
    1. Доказать. что две стороны (а значит все) имеют равную длину (что делал Славян, к сожалению его доказательство не геометрическое, а алгебраическое);
    2. Доказать, что в получившемся треугольнике высота делит сторону, на которую опущена, пополам;
    3. Или, что то же самое, что медиана перпендикулярна стороне;
    Есть и другие признаки равносторонности.

    Или можно попробовать доказать, что это свойство (треугольник с вершинами в центах присоединённых треугольников - равносторонний) сохраняется при деформациях исходного треугольника. Поскольку это свойство заведомо верно, если исходный треугольник сам равносторонний (в силу симметрии), то это будет и доказательством задачи.
    Всё написанное выше это всего лишь моё мнение, возможно ошибочное.
      Цитата amk @
      Славян, странно у тебя на картинке равносторонние треугольники выглядят.
      Ну если вы про неравность их сторон, то от руки же в Paint'е рисовалось... :blush: :rolleyes:
        Плюсы Славяну и Vespery отсыпал. Кроме плюса за задачу N24, которую, похоже, кроме Славяна решать никто не будет и мне придётся таки вникать в его решение. НО подожду ещё немного- мож кто сможет сформулировать более простое и красивое решение(эта задачка из тех, которые должны иметь простое решение).
        Ум, весь состоящий из одной логики, подобен ножу из одного лезвия: он ранит в кровь руку, берущую его. Рабиндранат Тагор
          В дальнейшем буду набрасывать задачек реже- хочу ещё сам успевать порешать.

          Давать буду из того же задачника для одарённых деток И давать буду всё, кроме самого заезженного и очевидного.

          Так что вот:

          Цитата
          25. Какие многоугольники могут получиться при пересечении куба плоскостью? Может ли получиться пятиугольник? Семиугольник? Правильный шестиугольник?


          Цитата
          26. Через центр куба провести прямую так, чтобы сумма квадратов расстояний восьми вершин куба от нее была а) максимальной, б) минимальной (по сравнению с другими прямыми).


          боже мой: там сплошные графические задачки идут(включая пропущенную мной N14)... но вот:

          Цитата
          29. Доказать, что остаток от деления числа 2^(p−1) на простое нечетное число p равен 1 (примеры: 2^2 =3a+1, 2^4 =5b +1, 2^6 =7c +1, 2^10=1024=11*93+1).
          Сообщение отредактировано: ya2500 -
          Ум, весь состоящий из одной логики, подобен ножу из одного лезвия: он ранит в кровь руку, берущую его. Рабиндранат Тагор
            Цитата ya2500 @
            Кроме плюса за задачу N24, которую, похоже, кроме Славяна решать никто не будет

            Я вот чувствую, что решение там описывается двумя предложениями. Но пока жду вдохновения, чтобы его найти :)
            Подпись была включена в связи с окончанием срока наказания
              А я сильно сомневаюсь в "двух". Впрочем, сейчас всякого могут наворотить...
              №25 - весьма известна: от треугольника до 6-угольника все могут быть. Т.е. 7 и выше - невозможно. Правильный 6-уг. получается при сечении плоскостью через центр куба нормальной=перпендикулярной к прямой от (0;0;0) до (1;1;1).
              В вики.Куб: "Четыре сечения куба являются правильными шестиугольниками — эти сечения проходят через центр куба перпендикулярно четырём его главным диагоналям".
                Решил сегодня задачу №24. Решение оказалось даже не простым, а очень простым.
                Скрытый текст

                Чертёж рисовать пока не буду. Опишу словами.
                Берём произвольный треугольник. Далее буду называть его исходным.
                На его сторонах строим равносторонние треугольники. Далее буду называть их присоединёнными.
                Соединяем центры этих треугольников (пока что мы остаёмся в рамках условия задачи). Буду называть его итоговым.
                Дополнительно (нужно для доказательства) вокруг присоединённых треугольников строим описанные окружности, общую точку пересечения этих окружностей соединяем прямыми с вершинами исходного треугольника.
                Представили? (можно нарисовать)

                Теперь доказательство. Ограничимся пока случаем, когда максимальный угол исходного треугольника меньше 120°.
                Из построения ясно, что точка пересечения окружностей симметрична вершинам исходного треугольника относительно сторон итогового. Значит стороны треугольника перпендикулярны соответствующим отрезкам, соединяющим эту точку с вершинами исходного треугольника
                Из точки пересечения окружностей каждая из сторон видна под углом 120° (теорема о вписанном и центральном углах, центральный угол равен 240°). То есть угол между прямыми, проведёнными из точки пересечения в вершины равен 60°.
                Следовательно углы между сторонами итогового треугольника также равны 60°.
                А значит этот треугольник равносторонний.

                Если наибольший угол больше 120°, немного изменяется построение, и углы видимости сторон. Но углы между прямыми остаются равными 60°, и конечный вывод остаётся прежним


                Добавлено
                Задача №25 известна, Славян написал решение.
                В задаче №26.
                Скрытый текст
                Сумма квадратов расстояний от вершин, до любой прямой, проходящей через его центр одинакова. Так что любая такая прямая годится в качестве решения обеих пунктов

                Задача №27, если мне не изменяет память, является частным случаем малой теоремы Ферма. В общем случае вместо двойки можно взять любое целое, не делящееся на p. В теории групп этим пользуются, чтобы найти обратное.
                Всё написанное выше это всего лишь моё мнение, возможно ошибочное.
                  Цитата amk @
                  Задача №25 известна, Славян написал решение.
                  Увы, но формально это не "полное решение", т.к. надо доказать, что 5-угольник есть (т.е. привести "координаты" сечения), а для 7 и выше - доказать, что не бывает. :yes-sad:

                  Добавлено
                  №26 тоже надо доказывать.
                    Цитата Славян @
                    привести "координаты" сечения
                    Точнее, как его построить. Элементарно.
                    Скрытый текст
                    Пусть две из граней куба горизонтальны (параллельны плоскости XOY). Одну из них назовём нижней (которая имеет меньшую координату Z), другую - верхней. рёбра, параллельные оси Z назовём вертикальными. Выберем две вершины на пространственной диагонали куба. Одна принадлежит нижней грани, другая - верхней. Проведём секущую плоскость через эи вершины и середины вертикальных рёбер, не исходящих из этих вершин. Эта плоскость пересекает боковые (вертикальные) грани куба и только касается верхней и нижней граней в вершинах, т. е. сечение получается четырёхугольным. А теперь чуть чуть сдвинем секущую плоскость вверх. Теперь плоскость не касается нижней грани, зато дополнительно пересекает верхнюю.

                    Доказательство, что сечение куба не может быть 7-угольником - элементарно.
                    Скрытый текст
                    Каждая сторона сечения - пересечение секущей плоскости с одной из граней. Куб имеет 6 выпуклых граней. Поскольку грани выпуклые, такое пересечение всегда простой отрезок (возможно выродившийся в точку), или не существует, и сечение не может иметь сторон больше, чем граней у куба, значит максимальное число сторон (и углов) не может быть больше 6.
                    Куда сложнее доказать, что 7-угольник не может быть сечением правильного октаэдра.

                    Строго говоря, сечением куба могут быть ещё и 2-угольник (отрезок), когда плоскость касается ребра, 1-угольник (точка), когда плоскость проходит через вершину, и 0-угольник (пустое множество), когда плоскость не пересекает куб.
                    Всё написанное выше это всего лишь моё мнение, возможно ошибочное.
                      Цитата ya2500 @
                      В дальнейшем буду набрасывать задачек реже


                      Ого, как давно я сюда не заглядывал. В понедельник 17-го надо будет обязательно заглянуть, почитать внимательно И выложить ещё задачек.

                      Вообще, постараюсь заглядывать хотя бы раз в 8 дней(мне удобно считать время 8-дневными неделями). Правда, в некоторые месяцы я могу пропадать совсем(например, в Августе я не знаю, что будет со свободным временем).
                      Ум, весь состоящий из одной логики, подобен ножу из одного лезвия: он ранит в кровь руку, берущую его. Рабиндранат Тагор
                        Где-то до 24(25?) июля включительно я был очень-очень занят И понял, что время- большая ценность.

                        В-общем, с головоломками пока подзавяжу... есть в планах заниматься ими, но начну, наверное, с обычных заданий для старшеклассников по различным предметам и вряд ли они будут уместны в ЭТОЙ теме.
                        Ум, весь состоящий из одной логики, подобен ножу из одного лезвия: он ранит в кровь руку, берущую его. Рабиндранат Тагор
                          Прикреплённая картинка
                          Прикреплённая картинка

                          PS: решение есть :)
                          Подпись была включена в связи с окончанием срока наказания
                            Скрытый текст
                            a=4, b=-1, c=11

                            А вообще, я читал эту статью на хабре сегодня :)
                            Долог путь в бессмертие... я еще вернусь.
                            Профильный скилл "Телепатия" 8%
                            ТРОЛЛЬ - Троян Разрушительный Опасный, Лучше ЛинятЬ (с) Freezing Spell
                            Прошу потестить игру.
                              Vesper, Can you
                              find positive whole values?
                              Мои религиозные убеждения не позволяют мне комментировать код.
                              Моё мировоззренье таково: в программе комментария ни одного!
                                А вообще - часто ли пишут "whole values"? Всегда считал, что общепринятое - integer :unsure:
                                Подпись была включена в связи с окончанием срока наказания
                                1 пользователей читают эту тему (1 гостей и 0 скрытых пользователей)
                                0 пользователей:
                                Страницы: (33) « Первая ... 30 31 [32] 33 


                                Рейтинг@Mail.ru
                                [ Script Execution time: 0,1572 ]   [ 16 queries used ]   [ Generated: 22.08.17, 11:08 GMT ]